Лекции по физике 1 | страница 74

что среднего продвижения вообще не будет, поскольку мы с равной вероятностью можем идти как вперед, так и назад. Однако чувствуется, что с увеличением N мы все с большей вероятно­стью можем блуждать где-то все дальше и дальше от начальной точки. Поэтому возникает вопрос: каково среднее абсолютное расстояние, т. е. каково среднее значение \D\? Впрочем, удобнее иметь дело не с |D|, а с D^>2; эта величина положительна как для положительного, так и для отрицательного движения и поэтому тоже может служить разумной мерой таких случайных блу­жданий.

Можно показать, что ожидаемая величина D^>2_>Nравна просто N — числу сделанных шагов. Кстати, под «ожидаемой величи­ной» мы понимаем наиболее вероятное значение (угаданное наилучшим образом), о котором можно думать как об ожидаемом среднем значении большого числа повторяющихся процессов

блуждания. Эта величина обозначается как >2_>N> и называется, кроме того, «средним квадратом расстояния». После одного

шага D^>2всегда равно +1, поэтому, несомненно, <D^>2_>1> = 1. (За единицу расстояния всюду будет выбираться один шаг, и поэтому я в дальнейшем не буду писать единиц длины).

, Ожидаемая величина D^>2_>Nдля N>1 может быть получена из d_>n>-1. Если после (N-1) шагов мы оказались на расстоянии D_>N>-1, то еще один шаг даст либо D_>N=D_>N>--1+1, либо D_>N=D_>N>-1 -1. Или для квадратов

(6.7)

Если процесс повторяется большое число раз, то мы ожидаем, что каждая из этих возможностей осуществляется с вероятно­стью ^>舣/_>2, так что средняя ожидаемая величина будет просто средним арифметическим этих значений, т. е. ожидаемая вели­чина D^>2_>Nбудет просто D^>2_>N>-1+1. Но какова величина D^>2_>N__>1, вер­нее, какого значения ее мы ожидаем? Просто, по определению, ясно, что это должно быть «среднее ожидаемое значение» >2_>N>-1>, так что

>2_>N>=>2_>N>-1+1. (6.8)

Если теперь вспомнить, что >2_>1>= 1, то получается очень простой результат:

<D2_>N>=N. (6.9)

Отклонение от начального положения можно характеризо­вать величиной типа расстояния (а не квадрата рас­стояния); для этого нужно просто извлечь квадратный корень из <.D^>2_>N> и получить так называемое «среднее квадратичное рас­стояние» D_>C>->K:

D_>C>->K=Ц>2> = ЦN. (6.10)

Мы уже говорили, что случайные блуждания очень похожи на опыт с подбрасыванием монет, с которого мы начали эту главу. Если представить себе, что каждое продвижение вперед или назад обусловливается выпадением «орла» или «решки», то D_>Nбудет просто равно N_>o-N_>P, т. е. разности числа выпа­дений «орла» и «решки». Или поскольку N