-
h>1)uD
t. Разделив на
Dt, получим
vh>2=u(h>2-h>1). Но этого еще недостаточно, так как, хотя нам известны h
>1 и h
>2, мы еще не знаем ни
u, ни
v, а хотим найти обе величины.
Следующим шагом будет использование закона сохранения импульса. Мы еще не касались вопросов давления в воде и прочей гидродинамики, но и так ясно, что давление в воде на какой-то глубине должно быть как раз достаточным, чтобы поддерживать столбик воды над этой глубиной. Следовательно, давление воды равно произведению плотности r на gи на глубину. Так как давление воды возрастает линейно с глубиной, то среднее давление на плоскость, проходящую, например, через точку х>1, равно >l/>2rgh>2, что также представляет среднюю силу на единичную ширину и на единичную длину, толкающую плоскость к точке х>2. Чтобы получить полную силу, давящую на воду слева, мы должны еще раз умножить на h>2. С другой стороны, давление на рассматриваемую область справа дает противоположно направленную силу, которая по тем же причинам равна >ll>2rgh>2>1. Теперь мы должны приравнять эти силы к скорости изменения импульса. Таким образом, нам нужно выяснить, насколько в случае, изображенном на фиг. 51.5,6, импульс больше, чем в случае, показанном на фиг. 51.5,а.
Мы видим, что дополнительная масса, которая приобрела скорость v, равна просто rh>2uDt—rh>2vDt (на единицу ширины), а умножение ее на vдает дополнительный импульс, который должен быть приравнен к импульсу силы FDt:
(rh>2uDt-rh>2vDt)v=(>1/>2rgh>2>2->1/>2rgh>2>1}Dt.
Исключая из этого уравнения vподстановкой vh>2=и(h>2-h>1) и упрощая его, получаем окончательно u>2=gh>2(h>1+h>2)/2h>1.
Если разность высот очень мала, так что h>1и h>2приблизительно одинаковы, то скорость будет равна Цgh. Как мы увидим позднее, это справедливо только при условии, что длина волны много больше глубины канала.
Аналогичную вещь можно сделать и для ударных волн, только теперь нужно добавить уравнение сохранения внутренней энергии, потому что ударная волна — явление необратимое. Действительно, если в задаче о высокой приливной волне проверить закон сохранения энергии, то мы увидим, что он не выполняется. Когда разность высот мала, то энергия почти сохраняется, но как только разность высот становится более заметной, возникают большие потери. Это проявляется в падении воды и водоворотах, показанных на фиг. 51.4.
С точки зрения адиабатического процесса в ударной волне тоже происходит аналогичная потеря энергии. Энергия в звуковой волне за ударным фронтом уходит на нагревание газа, что соответствует бурлению воды при высоком приливе. Оказывается, что необходимо решить три уравнения, чтобы описать все это для случая звука, причем нужно учесть, что температура за ударной волной и перед ней, как мы видели, не одинакова.
