Лекции по физике 4a | страница 55
Но то, что верно для 7, очевидно, верно и для любого другого целого числа. Теперь мы запишем результат нашего доказательства в следующей, более элегантной математической форме. Если mи n — целые отличные от нуля числа и если w=2p/T, то
В предыдущих главах для описания простого гармонического движения было удобно пользоваться экспоненциальной функцией. Вместо coswt мы использовали Re ехр(iwt) —действительную часть экспоненциальной функции. В этой главе мы использовали синус и косинус, потому что с ними, пожалуй, немного проще проводить доказательства. Однако наш окончательный результат, уравнение (50.13), можно записать в более компактной форме:
где а>n — комплексное число а>n-ib>n(с b>0=0). Если мы всюду будем пользоваться одним и тем же обозначением, то должны также написать
Итак, теперь мы умеем раскладывать периодическую волну на ее гармонические компоненты. Эта процедура называется разложением в ряд Фурье, а отдельные члены называются фурье-компонентами. Однако до сих пор мы не показали, что, определив все фурье-компоненты и затем сложив их, мы действительно придем назад к нашей функции f(t). Математики доказали, что для широкого класса функций (в сущности, для всех функций, интересных физикам), которые можно проинтегрировать, мы снова получаем f(t). Но есть одно небольшое исключение. Если функция f(t) разрывна, т. е. если она неожиданно прыгает от одного значения к другому, сумма Фурье такой функции даст в точке разрыва значение, лежащее посредине между верхним и нижним значениями. Таким образом, если у нас есть странная функция f(t)=0 для 0≤t<t>0и f(t)=1 для t>0≤t≤T, то ее сумма Фурье всюду даст нам правильную величину, за исключением точки t>0, где вместо единицы получится >1/>2. Во всяком случае, физически даже нельзя требовать, чтобы функция была всюду нулем вплоть до точки t>0, а в самой точке t>0вдруг стала равной единице. Может быть, стоило бы специально для физиков издать такой «указ», что любая разрывная функция (которая может быть только упрощением настоящей физической функции) в точке разрыва должна принимать среднее значение. Тогда любая такая функция, с любым конечным числом «ступенек», как и все другие интересные для физики функции, будет правильно описываться рядом Фурье.
В качестве упражнения предлагаем читателю найти ряд Фурье для функции, показанной на фиг. 50.3.
