Лекции по физике 4a | страница 32

Если подождать немного, то волна передвинется, и по проше­ствии некоторого промежутка времени «колокол» перейдет в какое-то другое место. Зная, что частица вначале где-то была расположена, мы ожидали бы, согласно классической меха­нике, что она будет где-то и позднее, ведь есть же у нее ско­рость и импульс в конце концов. При этом квантовая теория дает в пределе правильные классические соотношения между энергией, импульсом и скоростью, если только групповая ско­рость, скорость модуляции, будет равна скорости классиче­ской частицы с тем же самым импульсом.

Сейчас необходимо показать, так ли это на самом деле или нет. Согласно классической теории, энергия связана со ско­ростью уравнением

Точно таким же образом импульс равен

Как следствие отсюда после исключения vполучается

E^>2-р^>2c^>2=m^>2c^>4,

т. е. р_>mр_>m=m^>2. Это величайший результат четырехмерья, о котором мы уже говорили много раз, устанавливающий связь между энергией и импульсом в классической теории. Теперь же, поскольку мы собираемся заменить E и p на w и k помощью подстановки Е=hwи p=hk, он означает, что в квантовой меха­нике должна существовать связь

Таким образом, возникло соотношение между частотой и вол­новым числом квантовомеханической амплитуды, описывающей частицу с массой m. Из этого уравнения можно получить

т. е. фазовая скорость w/k; снова больше скорости света!

Рассмотрим теперь групповую скорость. Она должна быть равна скорости, с которой движется модуляция, т. е. dw/dk.

Чтобы найти ее, нужно продифференцировать квадратный корень; это дело нехитрое. Производная равна

Но входящий сюда квадратный корень есть попросту w/с, так что эту формулу можно записать в виде dw/dk=е^>2k/w. Далее, так как k/w равно р/Е, то

Но, согласно (48.20) и (48.21), с^>2р/Е равно v— скорости ча­стицы в классической механике. Таким образом видно, что, принимая во внимание основные квантовомеханические соот­ношения E=hwи p=hk, определяющие w и kчерез классиче­ские величины Е и р и дающие только уравнение w^>2-k^>2c^>2= =m^>2с^>4/h^>2, теперь можно понять также соотношения (48.20) и (48.21), связывающие Е и р соскоростью. Групповая скорость, разумеется, должна быть скоростью частиц, если эта интер­претация вообще имеет какой-либо смысл. Пусть в какой-то момент, как мы полагаем, частица находится в одном месте, а затем; скажем через 10 минут,— в другом. Тогда, согласно кван­товой механике, расстояние, пройденное «колоколом», разде­ленное на интервал времени, должно равняться классической скорости частицы.