Лекции по физике 4a | страница 33

§ 6. Волны в пространстве трех измерений

Мы заканчиваем наше обсуждение волн несколькими об­щими замечаниями о волновом уравнении. Эти замечания, при­званные дать нам картину того, чем нам предстоит заниматься в будущем, вовсе не претендуют на то, чтобы вы поняли их сразу; они должны скорее показать, как будут выглядеть все эти вещи, когда вы несколько больше познакомитесь с волна­ми. Мы уже записали уравнение для распространения звука в одном измерении:

здесь с — скорость того, что мы назвали волнами. Если речь идет о звуке, то это скорость звука, если о свете — то это ско­рость света. Мы показали, что для звуковой волны перемещения частиц должны распространяться с некоторой скоростью. Но из­быточное давление, как и избыточная плотность, тоже распро­страняется с некоторой скоростью. Таким образом, можно ожидать, что и давление будет удовлетворять этому же уравнению.

Так оно и есть на самом деле, однако докажите это самостоя­тельно. Указание: r_>u пропорционально скорости изменения c с расстоянием х. Следовательно, продифференцировав волновое уравнение по х, мы немедленно обнаружим, что дc/дх удовлет­воряет тому же самому уравнению. Другими словами, r_>u удов­летворяет тому же самому уравнению. Но Р_>uпропорционально r_>u, поэтому и Р_>uудовлетворяет тому же самому уравнению. Та­ким образом, и давление, и перемещение — все описывается одним и тем же уравнением.

Обычно волновое уравнение для звука записывается через давление, а не через перемещение. Это проще, потому что давление — скаляр и не имеет никакого направления. Но перемещение есть вектор, и поэтому лучше иметь дело с дав­лением.

Следующий вопрос, который нам предстоит обсудить, отно­сится к волновому уравнению в трехмерном пространстве. Мы знаем, что звуковая волна в одномерном пространстве описы­вается решением ехр[i(wt-kx)], где w=kc_>S. Кроме того, нам из­вестно, что в трех измерениях волна описывается выражением exp[i(wt-k_>xx-k_>yy-k_>zz)], и в этом случае w^>2=k^>2с_>S^>2 [сокращен­ная запись (k^>2_>x+k^>2_>y+k^>2_>z)c^>2_>S]. Сейчас мы хотим просто угадать вид волнового уравнения в трехмерном пространстве. Естествен­но, что в случае звука это уравнение можно получить с помощью тех же самых динамических соображений, но уже в трехмерном пространстве. Однако мы не будем сейчас делать этого, а просто напишем ответ: уравнение для давления или перемещения (или чего-то другого) имеет вид

правильность этого уравнения может быть легко проверена подстановкой в него функции exp[i(wt-