Лекции по физике 4a | страница 20
тем самым мы связали скорость звуковых волн со свойствами среды.
Легко увидеть, что звуковая волна может распространяться: и в направлении отрицательных х, т. е. звуковое возмущений вида c (х, t)=g(x+vt) также удовлетворяет волновому уравнению. Единственное отличие этой волны от той, которая распространялась слева направо, заключается в знаке v, но знак д>2c/dt>2не зависит от выбора x+vtили х-vt, потому что в эту производную входит только v>2. Отсюда следует, что решение уравнения описывает волны, бегущие в любом направлении со скоростью c>s.
Особый интерес представляет вопрос о суперпозиции решений. Допустим, мы нашли одно решение, скажем c>1 . Это значит, что вторая производная 3d по х равна второй производной c>1 по t>1, умноженной на 1/с>2>s. И пусть есть второе решение c>2, обладающее тем же свойством. Сложим эти два решения, тогда получается
c (x, t)=c>1(x, t) + c>2(x, t). (47.17)
Теперь мы хотим удостовериться, что c (х, t) тоже представляет некую волну, т. е. cтоже удовлетворяет волновому уравнению. Это очень просто доказать, так как
и вдобавок
Отсюда следует, что d>2c/dx>2=(l/c>2>s)д>2c/dt>2, так что справедливость принципа суперпозиции проверена. Само существование принципа суперпозиции связано с тем, что волновое уравнение линейно по c.
Теперь естественно было бы ожидать, что плоская световая волна, распространяющаяся вдоль оси х и поляризованная так, что электрическое поле направлено по оси y, тоже удовлетворяет волновому уравнению
где с — скорость света. Волновое уравнение для световой волны есть одно из следствий уравнений Максвелла. Уравнения электродинамики приводят к волновому уравнению для света точно так же, как уравнения механики приводят к волновому уравнению для звука.
§ 5. Скорость звука
При выводе волнового уравнения для звука мы получили формулу, которая связывает при нормальном давлении скорость движения волны и относительное изменение давления с плотностью: с>2>s=(dP/dr)>0.(47.21) Чтобы оценить скорость изменения давления, очень важно знать, как при этом меняется температура. Можно ожидать, что в местах сгущения звуковой волны температура повысится, а в местах разрежения — понизится. Ньютон первым вычислил скорость изменения давления с плотностью, предположив, что температура при этом не меняется. Он считал, что тепло передается из одной области звуковой волны в другую так быстро, что температура измениться не успеет. Способ Ньютона дает изотермическую скорость звука, что неправильно. Правильное вычисление было сделано позже Лапласом, считавшим вопреки Ньютону, что давление и температура в звуковой волне меняются адиабатически. Поток тепла из области сгущения в область разрежения пренебрежимо мал, если только длина волны велика по сравнению с длиной свободного пробега. При этих условиях ничтожная утечка тепла в звуковой волне не влияет на скорость звука, хотя и приводит к небольшому поглощению звуковой энергии. Мы можем, естественно, ожидать, что поглощение тепла усилится, когда длина волны приблизится к длине свободного пробега, но такие длины волн примерно в миллион раз меньше длины волны слышимого звука.
