Лекции по физике 4a | страница 19

Dx, а ускорение воздуха есть д^>2c/дt^>2, так что масса, умноженная на ускорение для этого слоя, есть r_>0Dx(д^>2c/дt^>2). (Если Dx; мало, то безразлично, где брать ускорение — на краю слоя или где-нибудь посредине.) Сила, действующая на единич­ную площадку нашего слоя, перпендикулярную оси x, должна быть равна r_>0Dx(д^>2хc/дt^>2). В точке х мы имеем силу Р(х,t), дей­ствующую на единицу площади в направлении +х, а в точке x+Dx; возникает сила в обратном направлении, по величине равная Р(x;+ Dx, t) (фиг. 47.4):

Фиг. 47.4. Результирующая сила в направлении оси х, возникающая за счет давления на единичную площадку, перпендикулярную к оси х, есть — (дР/дх)Dх.

Р(х,t)-P(x+Dx, t)=-(дP/дx) Dx=(дP_>u/дx) Dx. (47.10)

Мы учли, что Dx; мало и что только избыточное давление Р_>и меняется в зависимости от х. Итак, согласно свойству III мы получаем

(III) r_>0=д^>2c/дt^>2=-дP_>u/дx. (47.11)

Теперь уже уравнений достаточно, чтобы увязать все вели­чины и привести к одной переменной, скажем х. Можно выразить Р_>uв (47.11) с помощью (47.4):

r_>0д^>2c/дt^>2-cдr_>u/дx (47.12)

а затем исключить r_>u с помощью (I). Тогда r_>0 сократится и у нас останется

д2c/дt^>2=xд^>2c/дx^>2. (47.13)

Обозначим с^>2_>s=x, тогда можно написать

Это и есть волновое уравнение, которое описывает распростра­нение звука в среде.

§ 4. Решения волнового уравнения

Посмотрим теперь, действительно ли волновое уравнение описывает основные свойства звуковых волн в среде. Прежде всего мы хотим вывести, что звуковое колебание, или возмуще­ние, движется с постоянной скоростью. Кроме того, нам нужно доказать, что два различных колебания могут свободно прохо­дить друг через друга, т. е. принцип суперпозиции. Мы хотим еще доказать, что звук может распространяться и вправо и влево. Все эти свойства должны содержаться в нашем одном урав­нении.

Раньше мы отмечали, что любое возмущение, имеющее вид плоской волны и движущееся с постоянной скоростью, записы­вается в виде f(x-vt). Посмотрим теперь, является ли f(x-vt) решением волнового уравнения. Вычисляя дc/дх, получаем производную функции dcldx=f'(x-vt). Дифференцируя еще раз, находим

Дифференцируя эту же функцию c по t, получаем значение — V, умноженное на производную, или дc/dt=-vf (x-vt); вторая производная по времени дает

Очевидно, что f(х-vt) удовлетворяет волновому уравнению, если vравно c_>s.

Таким образом, из законов механики мы получаем, что любое звуковое возмущение распространяется со скоростью c_>sи, кроме того,