Лекции по физике 5a | страница 41

Представьте, что мы сооружаем шар, наслаивая последова­тельно друг на друга сферические слои бесконечно малой тол­щины. На каждой стадии процесса мы собираем небольшое ко­личество электричества и размещаем его тонким слоем от rдо r+dr. Мы продолжаем процесс этот до тех пор, пока не добе­ремся до заданного радиуса а (фиг. 8.2). Если Q_>r-— это заряд шара в тот момент, когда шар доведен до радиуса r, то работа, требуемая для доставки на шар заряда dQ, равна

(8.4)

Фиг. 8.2. Энергию однород­но заряженного шара можно рассчитать, вообразив, что его слепили, последовательно наслаивая друг на друга сферические слои.

Если плотность заряда внутри шара есть r, то заряд Q_>r>равен

Уравнение (8.4) превращается в

(8.5)

Полная энергия, требуемая на то, чтобы накопить полный шар зарядов, равна интегралу по dUот r=0 до r=а, т.е.

(8.6)

а если мы желаем выразить результат через полный заряд Qшара, то

(8.7)

Энергия пропорциональна квадрату полного заряда и об­ратно пропорциональна радиусу. Можно представить (8.7) и так: среднее значение (1/r_>ij) по всем парам точек внутри шара равно ^>6/_>5а.

§ 2. Энергия конденсатора. Силы, действующие на заряженные проводники

Рассмотрим теперь энергию, требуемую на то, чтоб зарядить конденсатор. Если заряд Qбыл снят с одной обкладки конден­сатора и перенесен на другую, то между обкладками возникает разность потенциалов, равная

(8.8)

где С — емкость конденсатора. Сколько работы затрачено на зарядку конденсатора? Поступая точно так же, как мы посту­пали с шаром, вообразим, что конденсатор уже заряжен перено­сом заряда с одной обкладки на другую маленькими порциями dQ. Работа, требуемая для переноса заряда dQ,равна

Взяв Vиз (8.8), напишем

Или, интегрируя от Q=0 до конечного заряда Q, получаем

(8.9)

Эту энергию можно также записать в виде

(8.10)

Вспоминая, что емкость проводящей сферы (по отношению к бесконечности) равна

мы немедленно получим из уравнения (8.9) энергию заряженной сферы

(8.11)

Это выражение, конечно, относится также и к энергии тонкого сферического слоя с полным зарядом Q; получается ^>5/_>6 энер­гии однородно заряженного шара [уравнение (8.7)].

Посмотрим, как применяется понятие электростатической энергии. Рассмотрим два вопроса. Какова сила, действующая между обкладками конденсатора? Какой вращательный (крутя­щий) момент вокруг некоторой оси испытывает заряженный про­водник в присутствии другого проводника с противоположным зарядом? На такие вопросы легко ответить, пользуясь нашим выражением (8.9) для электростатической энергии конденсатора и принципом виртуальной работы (см. вып. 1, гл. 4, 13 и 14).