Лекции по физике 5a | страница 20
(6.21)
где r>i — расстояние от Р до заряда q>i(длина вектора R-d>i). Если расстояние от зарядов до Р (до точки наблюдения) чрезвычайно велико, то каждое из r>i можно принять за R. Каждый член в сумме станет равным q>i/R, и 1IRможно будет вынести из-под знака суммы. Получится простой результат
(6.22)
где Q— суммарный заряд тела. Таким образом, мы убедились, что из точек, достаточно удаленных от скопления зарядов, оно кажется просто точечным зарядом. Этот результат в общем не очень удивителен.
Но что, если положительных и отрицательных зарядов в группе окажется поровну? Суммарный заряд Qтогда будет равен нулю. Это не такой уж редкий случай; мы знаем, что большинство тел нейтрально. Нейтральна молекула воды, но заряды в ней размещаются отнюдь не в одной точке, так что, приблизившись вплотную, мы должны будем заметить какие-то признаки того, что заряды разделены. Для потенциала произвольного распределения зарядов в нейтральном теле мы нуждаемся в приближении, лучшем, чем даваемое формулой (6.22). Уравнение (6.21) по-прежнему годится, но полагать r>i=Rбольше нельзя. Для r>i нужно выражение поточнее. В хорошем приближении r>i можно считать отличающимся от R(если точка Р сильно удалена) на проекцию вектора d на вектор R (см. фиг. 6.7, но вы должны только представлять себе, что Р намного дальше, чем показано). Иными словами, если e>r — единичный вектор в направлении R, то за следующее приближение к r>iнужно принять
(6.23)
Но нам ведь нужно не r>i, а 1/r>i; оно в нашем приближении (с учетом d>i<<R) равно
(6.24)
Подставив это в (6.21), мы увидим, что потенциал равен
(6.25)
Многоточие указывает члены высшего порядка по d/R, которыми мы пренебрегли. Как и те члены, которые мы выписали, это последующие члены разложения 1/r>iв ряд Тэйлора в окрестности 1/Rпо степеням d>i/R,
Первый член в (6.25) мы уже получили; в нейтральных телах он пропадает. Второй член, как и у диполя, зависит от 1/R>2. Действительно, если мы определим
(6.26)
как величину, описывающую распределения зарядов, то второй член потенциала (6.25) обратится в
(6.27)
т. е. как раз в дипольный потенциал. Величина р называется дипольным моментом распределения. Это обобщение нашего прежнего определения; оно сводится к нему в частном случае точечных зарядов.
В итоге мы выяснили, что достаточно далеко от любого набора зарядов потенциал оказывается дипольным, лишь бы этот набор был в целом нейтральным. Он убывает, как 1
