Лекции по физике 5a | страница 18

§ 4. Диполъный потенциал как градиент

Мы хотели бы теперь отметить любопытное свойство формулы диполя (6.13). Потенциал можно записать также в виде

(6.16)

Действительно, вычислив градиент 1/r, вы получите

и (6.16) совпадет с (6.13).

Фиг. 6.5. Потенциал в точке Р от точечного заряда, поднятого на Dzнад началом координат, равен потенциалу в точке Р' (на Dz ниже Р) того же заряда, но помещенного вначале координат.

Как мы догадались об этом? Мы просто вспомнили, что e_>r/r^>2 уже появлялось в формуле для поля точечного заряда и что поле — это градиент потенциала, изменяющегося как 1/r.

Существует и физическая причина того, что дипольный по­тенциал может быть записан в форме (6.16). Пусть в начало коор­динат помещен точечный заряд q. Потенциал в точке Р(х, у, z) равен

(Множитель 1/4pe_>0 опустим, а в конце мы его можем снова вста­вить.) Если заряд +qмы сдвинем на расстояние Dz, то потен­циал в точке Р чуть изменится, скажем на Dj_>+. На сколько же именно? Как раз на столько, на сколько изменился бы потен­циал, если б заряд оставили в покое, а Р сместили на столько же вниз (фиг. 6.5). Иначе говоря,

где Dz означает то же, что и d/2. Беря j_>0=q/r, мы получаем для потенциала положительного заряда

(6.17)

Повторяя те же рассуждения с потенциалом отрицательного заряда, можно написать

(6.18)

А общий потенциал—просто сумма (6.17) и (6.18):

(6.19)

При других расположениях диполя смещение положи­тельного заряда можно изобразить вектором Dг_>+, а уравне­ние (6.17) представить в виде

где Dr впоследствии надо будет заменить на d/2. Завершая доказательство так, как это было сделано выше, мы приве­дем уравнение (6.19) к виду

Это то же уравнение, что и (6.16). Надо только заменить qd на р и вставить потерянный по дороге множитель 1/4pe_>0. Взглянув на это уравнение по-иному, видим, что дипольный потенциал (6.13) можно толковать как

(6.20)

где Ф_>0=1/4pe_>0r — потенциал единичного точечного заряда.

Хотя потенциал данного распределения зарядов всегда мо­жет быть найден при помощи интегрирования, иногда можно сберечь время, применив какой-нибудь хитроумный прием. Например, на помощь часто приходит принцип наложения. Если нам дано распределение зарядов, которое можно соста­вить из двух распределений с уже известными потенциалами, то искомый потенциал легко получить, просто сложив уже из­вестные между собой. Наш вывод формулы (6.20) — один из примеров применения этого приема.

А вот и другой. Пусть имеется сферическая поверхность, на которой поверхностный заряд распределен пропорционально косинусу полярного угла. Интегрировать такое распределение— задача, откровенно говоря, не из приятных. Но как ни странно, на помощь приходит принцип наложения. Представьте себе шар с однородной