Лекции по физике 8a | страница 69

«Взгляните, — сказал Дирак, — первое и последнее уравнения я могу записать также в виде

и тогда все они станут похожими. Теперь я придумаю новый оператор, который обозначу Р_{>спин. обмен} и который, по опре­делению, будет обладать следующими свойствами:

Оператор этот, как видите, только обменивает направления спина у двух частиц. Тогда всю систему уравнений (10.15) я могу написать как одно простое операторное уравнение:

Это и есть формула Дирака. Оператор обмена спинами дает удобное правило для запоминания s^>е·s^>p . (Как видите, вы теперь уже все умеете делать. Для вас все двери открыты.)

§ 3. Уровни энергии

Теперь мы готовы к тому, чтобы вычислить уровни энергии основного состояния водорода, решая гамильтоновы уравнения (10.14). Мы хотим найти энергии стационарных состояний. Это значит, что мы должны отыскать те особые состояния |y>, для которых каждая из принадлежащих |y> амплитуд C_>i=<i|y> обладает одной и той же зависимостью от времени, а именно е^>->w>t. Тогда состояние будет обладать энергией E=hw. Зна­чит, мы ищем совокупность амплитуд, для которых

где четверка коэффициентов а_>i не зависит от времени. Чтобы увидеть, можем ли мы получить эти амплитуды, подставим (10.17) в (10.14) и посмотрим, что из этого выйдет. Каждое ihdC_>i/dtв (10.14) перейдет в EC_>i. И после сокращения на общий экспоненциальный множитель каждое С_>iпревратится в а_>i; получим

Это и нужно решить для отыскания a_>1, а_>2, а_>3и а_>4. Право, очень мило со стороны первого уравнения, что оно не зависит от остальных,— а это значит, что одно решение сразу видно. Если выбрать Е=А, то

a1=1, a_>2=a_>3=a_>4=0

даст решение. (Конечно, если принять все а равными нулю, то это тоже будет решение, но состояния оно не даст!) Будем счи­тать наше первое решение состоянием | I>:

Его энергия

Е_>I=А.

Все это немедленно дает ключ ко второму решению, по­лучаемому из последнего уравнения в (10.18):

а_>1=а_>2=а_>3=0, а_>4=1, Е=А.

Это решение мы назовем состоянием |II>:

|//> = |4> = |-->,(10.20)

Е_>II=А.

Дальше пойдет чуть труднее; оставшиеся два уравнения (10.18) переплетены одно с другим. Но мы все это уже дела­ли. Сложив их, получим

Е(а_>2+ а_>3) = А(а_>2+ а_>3). (10.21)

Вычитая, будем иметь

Окидывая это взглядом и припоминая знакомый нам уже аммиак, мы видим, что здесь есть два решения:

Это смеси состояний |2> и |3>. Обозначая их |III> и |IV> и вставляя для правильной нормировки множитель 1/Ц2, имеем

Е_>III=А (10.24)

и

Мы нашли четверку стационарных состояний и их энергии. Заметьте, кстати, что наши четыре состояния ортогональны друг другу, так что их тоже можно при желании считать базис­ными состояниями. Задача наша полностью решена.