Лекции по физике 8a | страница 6

Для молекулы аммиака в электрическом поле наше описа­ние придется изменить. Если игнорировать амплитуду пере­броса молекулы из одной конфигурации в другую, то энергии двух состояний |1> и |2>обязаны быть равны (Е_>0±mx). Сле­дуя процедуре, принятой в предыдущей главе, мы примем

Кроме того, предположим, что при интересующих нас электри­ческих полях сами поля не сказываются заметно на геометрии молекулы и, стало быть, на амплитуде того, что атом азота перепрыгнет из одного положения в другое.

Поэтому можно принять, что Н_>12и H_>21 не изменились, т. е.

H_>12=H_>21=-А. (7.15)

Теперь с этими новыми значениями Н_>ijнадо решать гамильтоновы уравнения (6.43). Мы могли бы их решить просто, как делали это прежде, но поскольку нам не раз, видимо, представится случай решать системы с двумя состояниями, то давайте уж решим их раз и навсегда в общем случае произвольного Н_>ij, считая только, что со временем оно не меняется.

Мы ищем общее решение пары гамильтоновых уравнений

Это линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Значит, всегда можно найти решения, яв­ляющиеся экспоненциальными функциями независимой пере­менной t. Сперва отыщем решения, в которых С_>1и С_>2 одина­ково зависят от времени; возьмем пробные функции

Поскольку это решение отвечает состоянию с энергией E=hw,

то можно прямо написать

где Е пока неизвестна и должна быть определена так, чтобы дифференциальные уравнения (7.16) и (7.17) выполнялись. При подстановке С_>1и С_>2 из (7.18) и (7.19) в дифференци­альные уравнения (7.16) и (7.17) производные дают просто -iE/h, умноженное на С_>1или C_>2, так что слева остается попросту ЕС_>1или ЕС_>2. Сокращая общие экспоненциальные множители, получаем

или после перестановки членов

У такой системы однородных алгебраических уравнений не­нулевые решения для а_>1 и а_>2 будут лишь тогда, когда опре­делитель, составленный из коэффициентов при а_>1и а_>2, равен нулю, т. е. если

Но когда уравнений два и неизвестных тоже два, то можно обойтись и без столь возвышенных представлений. Каждое из уравнений (7.20) и (7.21) дает отношение двух коэффициентов a_>1 и а_>2, и эти два отношения должны быть равны. Из (7.20) мы имеем

а из (7.21)

Приравнивая эти отношения, получаем, что Е должно удовле­творять равенству

(E-H_>11)(E-H_>22)-H_>12H_>21=0.

То же получилось бы и из (7.22). В любом случае для Е получается квадратное уравнение с двумя решениями:

Энергия E может иметь два значения. Заметьте, что оба они