Лекции по физике 8a | страница 3

Что бы это могло означать? Очень просто: это амплитуда того, что состояние |Ф> окажется в новом состоянии |//>, в котором амплитуды первоначальных базисных состояний равны между собой, Иначе говоря, когда мы пишем С_>II=<II|Ф>, то мы впра­ве абстрагироваться в уравнении (7.4) от |Ф>, поскольку оно вы­полняется при любых Ф, и писать

это означает то же самое, что и

Амплитуда того, что состояние (II} окажется в состоянии |1>, равна

а это, конечно, равняется просто единице, поскольку и |1>, и |2>суть базисные состояния. И амплитуда обнаружения состояния |II> в состоянии \2у тоже равна единице, так что у состояния |II> одинаковы амплитуды оказаться в каждом из базисных состояний |1> и |2>.

Но тут всплывает новая трудность. У состояния |II> пол­ная вероятность оказаться то ли в одном базисном состоянии, то ли в другом получается больше единицы. Но это всего лишь означает, что вектор состояния неудачно «отнормирован». Чтобы исправить дело, надо вспомнить, что всегда для любого состояния обязано быть <II|II>=1. Использовав общее соотношение

полагая, что и Ф, и c суть состояние II, и суммируя по ба­зисным состояниям |1> и |2>, получаем

Это даст, как положено, единицу, если мы изменим наше оп­ределение С_>II[см. уравнение (7.4)] и примем

Таким же путем можно построить и амплитуду

или

Эта амплитуда есть проекция состояния |Ф> на новое состоя­ние |I>, обладающее амплитудами противоположного знака, для пребывания в состояниях |1> и |2>. А именно (7.6) означает то же самое, что и

или

откуда следует

Зачем все это нужно? С какой целью все это делается? Дело в том, что состояния |I> и |II> могут быть приняты за новую совокупность базисных состояний, особенно подхо­дящую для описания стационарных состояний молекулы ам­миака. Вы помните, что требования к совокупности базисных состояний были таковы:

Мы уже сами сделали так, чтобы было

Из (7.5) и (7.7) легко вывести, что и

Амплитуды С_>I=<I|Ф> и С_>II=<II|Ф> того, что любое состояние |Ф> окажется в одном из наших новых базисных со­стояний |I> и |II>, обязаны также удовлетворять гамильтонову уравнению вида (6.39). И действительно, если мы просто вычтем друг из друга два уравнения (7.2) и (7.3) и продиф­ференцируем по t, то убедимся, что

А взяв сумму (7.2) и (7.3), увидим

Если за базисные состояния взять |I> и |II>, то гамильтонова матрица очень проста:

Заметьте, что каждое из уравнений (7.8) и (7.9) выглядит очень похоже на то, что получалось в гл. 6, § 6, для уравнения си­стемы с одним состоянием. Они дают простую экспоненциальную зависимость от времени, отвечающую определенной энергии.