Апология математика | страница 45

Из теоремы Пифагора следует, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной (что их отношение - не рациональное число, что не существует такой единицы длины, целыми кратными которой были бы диагональ и сторона квадрата). Действительно, если мы примем сторону за единицу длины и d - длина диагонали, то по другой хорошо известной теореме, также приписываемой Пифагору(7),

поэтому d не может быть рациональным числом.

Я могу привести сколько угодно красивых теорем из теории чисел, смысл которых может быть понят любым человеком. Например, утверждение, известное под названием "основной теоремы арифметики", гласит: любое целое число разложимо в произведение простых чисел, причём только одним (с точностью до порядка сомножителей) способом. Например, 666 = 2·3·3·37, и других разложений не существует; разложения 666 = 2·11·29 или 13·89 = 17·73 невозможны (в этом мы можем убедиться, не вычисляя произведения). Эта теорема, о чём свидетельствует её название, служит основой высшей арифметики, но её доказательство, хотя и не является "трудным", требует некоторых предварительных пояснений и для читателя-нематематика может показаться скучным.

Ещё одним примером знаменитой и красивой теоремы может служить теорема Ферма о двух квадратах. Простые числа (если исключить особое простое число 2) можно разбить на два класса - на простые числа

дающие при делении на 4 остаток 1 и простые числа

дающие при делении на 4 остаток 3. Все простые числа из первого класса можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел:

Ни одно простое число из второго класса, например, 3, 7, 11, 19, в виде суммы квадратов двух целых чисел не представимо. (В этом читатель может легко убедиться с помощью проверки). Это утверждение является теоремой Ферма, которую с полным основанием принято считать одной из красивейших в теории чисел. К сожалению, не существует её доказательства, доступного пониманию кого-нибудь, кроме специалистов-математиков.

Красивые теоремы есть и в теории множеств, например, теорема Кантора[117] о несчётности континуума. Здесь трудность прямо противоположная. Доказательство теоремы достаточно просто, если овладеть терминологией теории множеств, но прежде чем смысл теоремы станет ясен, необходимы обширные пояснения. Поэтому я не стану приводить новые примеры. Те же примеры, которые я привёл выше, служат своего рода тестами, и читатель, не способный оценить их по достоинству, вряд ли способен оценить что-нибудь в математике вообще.