Апология математика | страница 44

Требуется доказать, что существует бесконечно много простых чисел, т.е. последовательность (1) никогда не кончается.

Предположим, что последовательность (1) кончается, т.е. что 2, 3, 5, ..., P - все входящие в неё числа (таким образом, P - наибольшее простое число). Следуя этой гипотезе, рассмотрим число

Ясно, что Q не делится ни на одно число 2, 3, 5, ..., P, так как при делении на любое из этих чисел даёт остаток 1. Но если число Q не простое, то оно должно делиться на какое-то простое число. Следовательно, существует какое-то простое число (может быть, само число Q), больше, чем любое из чисел 2, 3, 5, ..., P. Это противоречит сделанному нами предположению о том, что не существует простого числа, которое бы превосходило число P, и, следовательно, это предположение неверно.

Метод доказательства reductio ad absurdum (доказательство от противного), столь любимый Евклидом, - один из самых лучших инструментов математика(5). Это гораздо более "хитроумный" гамбит, чем любой шахматный гамбит: шахматист может пожертвовать пешку или даже фигуру, но математик жертвует партию.

2. Мой второй пример - предложенное Пифагором(6) доказательство "иррациональности" числа .

Рациональные числа представляются в виде дроби

не могут удовлетворять целые значения a и b, не имеющие общего множителя. Это - теорема чистой арифметики, не требующая знания "иррациональных чисел" и не зависящая ни от какой теории иррациональных чисел.

Снова воспользуемся доказательством от противного. Предположим, что соотношение (2) выполняется и что a и b целые числа, не имеющие общего множителя. Из соотношения (2) следует, что число a чётно (так как 2b делится на 2), и, следовательно, число a чётно (так как квадрат нечётного числа нечётен). Если a чётно, то

где c - некоторое целое число, и, следовательно,

или

Следовательно, число b