Апология математика | страница 46

Как уже было сказано, математик творит образы из идей, а красота и серьёзность - те критерии, по которым можно судить о создаваемых им образах. Я с трудом поверю, что тот, кто понял две приведённые мной теоремы, станет спорить по поводу того, что они удовлетворяют критериям красоты и серьёзности. Если сравнить их с самыми остроумными головоломками Дьюдени или с лучшими шахматными задачами, составленными мастером этого жанра, то превосходство теорем и в красоте, и в серьёзности станет явным: сказывается безошибочное различие в классе. Теоремы гораздо более серьёзны, а также гораздо более красивы. Можно ли определить, в чём заключается превосходство теорем чуть более подробно?

Прежде всего математические теоремы имеют явное и подавляющее превосходство в серьёзности. Шахматная задача - продукт очень ограниченного комплекса остроумных идей, которые отличаются одна от другой не слишком фундаментально и не имеют внешних последствий. Мы мыслили бы так же, даже если бы шахматы никогда не были изобретены, в то время как теоремы Евклида и Пифагора оказали глубокое влияние на человеческую мысль даже за пределами математики.

Таким образом, теорема Евклида имеет жизненно важное значение для всей структуры арифметики. Прямые числа - тот сырой материал, из которого мы должны строить арифметику, и теорема Евклида убеждает нас в том, что для выполнения этой задачи мы располагаем достаточным количеством сырья. Но теорема Пифагора имеет более широкий круг приложений и более приятную формулировку.

Следует заметить, что предложенное Пифагором доказательство допускает далеко идущее обобщение и после небольшого изменения основного принципа может быть применено к весьма широкому классу "иррациональных чисел". По аналогии с доказательством Пифагора, мы можем доказать (как это, по-видимому, сделал Теэтет[118]), что числа

иррациональны или (выходя за рамки доказанного Теэтета), что числа

Теорема Евклида говорит нам о том, что в нашем распоряжении имеется достаточный запас материала для построения непротиворечивой арифметики целых чисел. Теорема Пифагора и её обобщения говорят нам о том, что, когда мы построим арифметику целых чисел, она окажется недостаточной для наших целей, так как существует множество величин, привлекших наше внимание, которые мы не сможем измерить в целых числах. Диагональ квадрата - лишь самый очевидный пример. Глубокое значение этого открытия было сразу осознано древнегреческими математиками. Сначала они предполагали (в соответствии, как я предполагаю, с "естественными" требованиями "здравого смысла"), что все величины одного и того же рода соизмеримы, например, что любые две величины длины кратны одной и той же общей единице длины, и, исходя из этого допущения, построили теорию пропорций. Открытие Пифагора показало, что это допущение не верно, и привело к построению гораздо более глубокой теории Евдокса[