. «Возможно вывести почти всю современную математику, — пишет Бурбаки, — из единого источника — теории множеств» (10,26). Таким образом, можно предположить, что в фундаменте логической структуры математики лежат два понятия — понятие «множество» и понятие «отношение». «Множество» есть совокупность элементов. Элемент множества — основная структурная единица при моделировании актуальной действительности средствами математики. Понятие «отношение» отражает наличие связей между элементами множества. Совокупность элементов множества и связей, отношений между ними образуют конкретную математическую структуру (11). Так, если задать некоторое множество элементов, то отношение (другой термин — закон композиции) между собственными элементами этого множества определяют как внутреннее (унарное, бинарное, тернарное — в зависимости от количества элементов). Если же в отношении участвуют элементы разных множеств, то такой закон композиции определяется как внешний для этих множеств. Простейшая математическая структура — группоид — задается как множество элементов с заданным на нем внутренним бинарным законом композиции (11,62). Можно определить закон композиции на структурном уровне, единичным элементом которого является группоид. Для этого вводят понятие «гомоморфизм», которое отражает связи между группоидами (как разновидности — «изоморфизм», «эндоморфизм» и др.). «Группа» — частный случай группоида. Последующие уровни иерархии математических структур: «кольцо» — множество с заданными на нем двумя законами композиции (группа с дополнительными связями), «тело» — множество с заданными на нем двумя группами, «векторное пространство» — конструкция на основе группы, тела и закона композиции между ними, «тензор», «спинор», «твистор» и др. (11). Получается иерархическая последовательность математических структур, в которой новые структуры формируются путем задания отношений, связей между объектами предшествующих уровней сложности.
Как видим, в математике проявляется логически стройная структура, в которой всякий отдельный структурный уровень определяется своим единичным элементом, который, в свою очередь является сложной математической структурой по отношению к нижнему (по степени сложности) структурному уровню, но является составной частью элемента верхнего структурного уровня. Иными словами, единичный элемент очередного структурного уровня — это совокупность элементов предыдущего с заданным на нем отношением (связями между элементами). Как единое целое, этот элемент является, в свою очередь, единичным элементом для формирования следующего структурного уровня. Общий принцип иерархии математических структур можно схематично представить следующим образом:
