Всё о метрологии | страница 25

Соотношения (38) показывают, что итог измерения не есть одно определенное число. В результате измерений мы получаем лишь полосу значений измеряемой величины. Смысл итога измерений, например, L=20.00±0.05 заключается не в том, что L = 20.00, как для простоты считают, а в том, что истинное значение лежит где-то в границах от 19.95 до 20.05. К тому же нахождение внутри границ имеет некоторую вероятность, меньшую, чем единица, и, следовательно, нахождение вне границ не исключено, хотя и может быть очень маловероятным.

Теперь найдем доверительные интервалы для дисперсии и среднеквадратического отклонения результатов наблюдений.

Если распределение результатов наблюдений нормально, то отношение

имеет так называемое χ²-распределение Пирсона с k=n–1 степенями свободы. Его дифференциальная функция распределения описывается формулой

Кривые плотности χ²-распределения при различных значениях k, вычисленные по формуле (44), представлены на рис. 9.

Значения χ²_>kp, соответствующие различным вероятностям Р того, что отношение (43) в данном опыте будет меньше χ²_>kp, представлены в табл. П.6 приложения для различных вероятностей Р и чисел k степеней свободы.

Пользуясь этой таблицей, можно найти доверительный интервал для оценки дисперсии результатов наблюдений при заданной доверительной вероятности. Этот интервал строится таким образом, чтобы вероятность выхода дисперсии за его границы не превышала некоторой малой величины q, причем вероятности выхода за обе границы интервала были бы равны между собой и составляли соответственно q/2 (рис.10).

Границы χ²_>k,0.5q и χ²_>k,1–0.5q такого доверительного интервала находят из равенства

F(χ²_>k,0.5q) = 0.5q, F(χ²_>k,1-0.5q) = 1-0.5q  (45)

Теперь, зная границы доверительного интервала для отношения χ²_>kp, запишем доверительный интервал для дисперсии:

Полученное равенство означает, что с вероятностью α=1-q истинное значение σ_>X среднеквадратического отклонения результатов наблюдений лежит в интервале (

Пример. Даны результаты двадцати измерений длины l_>i мм детали (табл.3).

Таблица 3

В качестве оценки математического ожидания длины детали принимаем ее среднее арифметическое

Точечная оценка среднеквадратического отклонения результатов наблюдений составляет: