Всё о метрологии | страница 24

–1 = 1,2,…,30. В табл. П.5 приведены значения t_>p для наиболее часто употребляемых доверительных вероятностей Р.

Таким образом, с помощью распределения Стьюдента по формуле (41) может быть найдена вероятность того, что отклонение среднего арифметического от истинного значения измеряемой величины не превышает

, например  и т.д. Итог измерений записывается в виде

 

  (42)

Пример. По результатам пяти наблюдений была найдена длина стержня. Итог измерений составляет L=15.785 мм,

=0.005 мм, причем существуют достаточно обоснованные предположения о том, что распределение результатов наблюдений было нормальным. Требуется оценить вероятность того, что истинное значение длины стержня отличается от среднего арифметического из пяти наблюдений не больше чем на 0.01 мм.

Из условия задачи следует, что имеются все основания для применения распределения Стьюдента.

Вычисляем значение дроби Стьюдента

 

и число степеней свободы

k = n–1 = 5–1 = 4.

По данным табл. П.4 приложения находим значение доверительной вероятности для

t_>p = 2 и k = 4:

.

Для t_>p = 3 вероятность составляет

 

т.е несколько меньше 0.9973, как при нормальном распределении. Итог измерений удобно записать в виде

L = (15.785±0.010) мм, P = 0.8838.

Для t_>p = 1 доверительная вероятность составляет приблизительно 0.62, поэтому итог измерений можно представить также в виде

L = (15.785±0.005) мм, P = 0.62,

L = (15.785±0.015) мм, P = 0.96.

Пример. В условиях предыдущей задачи найти доверительную границу погрешности результата измерений для доверительной вероятности P=0.99. По данным табл. П.5 при k=4 находим t_>p=4.604 и, следовательно, доверительная граница:

 

 мм.

Итог измерений:

L = (15.785±0.023) мм, P = 0.99.

При n→∞, а практически уже при n = 20–30 распределение Стьюдента переходит в нормальное распределение и

 

где Φ(t_>p) — интегральная функции нормированного нормального распределения.

В тех случаях, когда распределение случайных погрешностей не является нормальным, все же часто пользуются распределением Стьюдента с приближением, степень которого остается неизвестной.

Кроме того, на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей можно утверждать, что при достаточно большом числе наблюдений распределение среднего арифметического как суммы случайных величин X_>i/n будет сколь угодно близким к нормальному. Тогда, заменяя дисперсию σ²_>X ее точечной оценкой [см. п. 4.4. Нормальное распределение], можно для оценки доверительной границы погрешности результата воспользоваться равенством (35). Число наблюдений