Всё о метрологии | страница 23

. Для определения доверительной границы (при выполнении перечисленных условий) задаются доверительной вероятностью, например Р=0.95 или Р=0.995 и по формулам

 

  (35)

определяют соответствующее значение Φ(t_>p) интегральной функции нормированного нормального распределения. Затем по данным табл. П.3 приложения находят значение коэффициента t_>p и вычисляют доверительное отклонение

. Проведение многократных наблюдений позволяет значительно сократить доверительный интервал. Действительно, если результаты наблюдений X_>i (i=1, 2,..., n) распределены нормально, то нормально распределены и величины X_>i/n, а значит, и среднее арифметическое , являющееся их суммой. Поэтому имеет место равенство

 

  (36)

где t_>p определяется по заданной доверительной вероятности Р.

Полученный доверительный интервал, построенный с помощью среднего арифметического результатов n независимых повторных наблюдений, в √n раз короче интервала, вычисленного по результату одного наблюдения, хотя доверительная вероятность для них одинакова. Это говорит о том, что сходимость измерений растет пропорционально корню квадратному из числа наблюдений.

Половина длины нового доверительного интервала

 

  (37)

называется доверительной границей погрешности результата измерений, а итог измерений записывается в виде

 

  (38)

Теперь рассмотрим случай, когда распределение результатов наблюдений нормально, но их дисперсия неизвестна. В этих условиях пользуются отношением

 

  (39)

называемым дробью Стьюдента. Входящие в нее величины

 и s_>X вычисляют на основании опытных данных; они представляют собой точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения результатов наблюдений.

Плотность распределения этой дроби, впервые предсказанного Госсетом, писавшим под псевдонимом Стьюдент, выражается следующим уравнением:

 

  (40)

где S(t, k) — плотность распределения Стьюдента. Величина k называется числом степеней свободы и равна n – 1. Вероятность того, что дробь Стьюдента в результате выполненных наблюдений примет некоторое значение в интервале (–t_>p, +t_>p), согласно выражению (8), вычисляется по формуле

 

или, поскольку S(t, k) является четной функцией аргумента t,

 

Подставив вместо дроби Стьюдента t ее выражение через

 и , получим окончательно

 

  (41)

Величины t_>p, вычисленные по формулам (40) и (41), были табулированы Фишером для различных значений доверительной вероятности Р в пределах 0.10–0.99 при k = n–1 = 1,2,…,30. В табл. П.5 приведены значения