Всё о метрологии | страница 22

,

 

.

Вторая производная от логарифмической функции преобразования равна ∂²L/∂Q² = –n/σ²_>X, поэтому дисперсия среднего арифметического в n раз меньше дисперсии σ²_>X результатов наблюдений, т. е.

 

.

Оценка дисперсии результатов наблюдений при малом n является немного смещенной, поэтому точечную оценку дисперсии принято определять как

 

а оценку среднеквадратического отклонения результатов наблюдений как

 

Дисперсия оценки s_>X среднеквадратического отклонения составляет

 

.

Последнее соотношение показывает, что относительная погрешность определения среднеквадратического отклонения (в %) по результатам обработки ряда наблюдений достаточно велика:

 

и даже при n = 50 достигает 10%. Для надежного суждения о точности эту погрешность следует увеличить еще минимум в два раза.

С помощью полученных оценок итог измерений можно записать в виде

 

что уже позволяет сделать некоторые выводы относительно точности проведенных измерений.

Наряду с методом максимального правдоподобия при определении точечных оценок широко используется метод наименьших квадратов. В соответствии с этим методом среди некоторого класса оценок выбирают ту, которая обладает наименьшей дисперсией, т. е. наиболее эффективную оценку. Легко заметить, что среди всех линейных оценок истинного значения вида

, где α_>i — некоторые постоянные, именно среднее арифметическое обращает в минимум дисперсию . Поэтому для случая нормально распределенных случайных погрешностей оценки, получаемые методом наименьших квадратов, совпадают с оценками максимального правдоподобия.

Смысл оценки параметров с помощью интервалов заключается в нахождении интервалов, называемых доверительными, между границами которых с определенными вероятностями (доверительными) находятся истинные значения оцениваемых параметров.

Вначале остановимся на определении доверительного интервала для среднего арифметического значения измеряемой величины. Предположим, что распределение результатов наблюдений нормально и известна дисперсия σ²_>X. Найдем вероятность попадания результата наблюдений в интервал

. Согласно формуле (29)

 

Но

 

и, если систематические погрешности исключены (m_>X = Q),

 

  (34)

Это означает, что истинное значение Q измеряемой величины с доверительной вероятностью P=2Φ(t_>p)–1 находится между границами доверительного интервала

.

Половина длины доверительного интервала

 называется доверительной границей случайного отклонения результатов наблюдений, соответствующей