Всё о метрологии | страница 21

 

  (33)

В противном случае необходимо более подробное исследование функции правдоподобия.

Далее определим оценки максимального правдоподобия для трех распределений случайных погрешностей, представленных в предыдущей главе.

1. Результаты наблюдений распределены нормально. В этом случае

 

а логарифмическая функция правдоподобия в соответствии с (32)

 

Система уравнений (33) приводится к виду

 

Из первого уравнения получаем выражение для оценки истинного значения

, а из второго — оценку среднеквадратического отклонения :

 

Таким образом, при нормальном распределении случайных погрешностей оценкой максимального правдоподобия для истинного значения является среднее арифметическое из результатов отдельных наблюдений, а оценкой дисперсии — среднее из квадратов отклонений результатов наблюдений от среднего арифметического.

2. Результаты наблюдений распределены по закону Лапласа

 

Логарифмическая функция правдоподобия не является дифференцируемой по Q, поэтому приходится прибегать к численным методам, функция правдоподобия достигает наибольшего значения, когда выражение

 принимает наименьшее значение. Поэтому задача об отыскании оценки истинного значения сводится к определению такого значения , сумма модулей отклонений результатов наблюдений от которого является наименьшей. Задача решается методом последовательных приближений, причем в качестве первого приближения можно принять среднее арифметическое из полученных результатов.

3. В условиях равномерного распределения погрешностей

 

причем a = Q–σ_>X√3 и b = Q+σ_>X√3.

Решение задачи нахождения оценки максимального правдоподобия для равномерного распределения погрешностей проводим численными методами, в результате чего получаем:

 

Основное достоинство оценок максимального правдоподобия в том, что они являются асимптотически (при n→∞) несмещенными; асимптотически эффективными и асимптотически нормально распределенными.

Если â — оценка максимального правдоподобия для параметра а, то при достаточно большом числе n наблюдений (практически уже при n>20-25) эту оценку можно считать нормально распределенной с математическим ожиданием M[â]=a и дисперсией D[â]=(M[–∂^>2L/∂a^>2])^>-1 при любом распределении результатов наблюдений.

Для наиболее часто встречающегося на практике нормального распределения случайных погрешностей оценки максимального правдоподобия имеются особые обозначения.

Оценкой истинного значения является среднее арифметическое 

 из результатов отдельных наблюдений