Всё о метрологии | страница 20

2. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру.

3. Оценка называется эффективной, если ее дисперсия меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра.

На практике не всегда удается удовлетворить одновременно все эти требования, однако выбору оценки должен предшествовать ее критический анализ со всех перечисленных выше точек зрения.

Существует несколько методов определения оценок. Наиболее распространен метод максимального правдоподобия, теоретически обоснованный математиком Р. Фишером. Идея метода заключается в следующем. Вся получаемая в результате многократных наблюдений информация об истинном значении измеряемой величины и рассеивании результатов сосредоточена в ряде наблюдений X_>1, X_>2, …, X_>n, где n — число наблюдений. Их можно рассматривать как n независимых случайных величин с одной и той же дифференциальной функцией распределения p_>X(x, Q, σ_>x). Вероятность P_>i получения в эксперименте некоторого результата X_>i, лежащего в интервале x_>i±Δx, где Δx — некоторая малая величина, равна соответствующему элементу вероятности P_>i=p_>X(x, Q, σ_>x)Δx.

Независимость результатов наблюдений позволяет найти априорную вероятность появления одновременно всех экспериментальных данных, т.е. всего ряда наблюдений X_>1, X_>2, …, X_>n как произведение этих вероятностей:

 

Если рассматривать Q и σ_>x как неизвестные параметры распределения, то, подставляя различные значения Q и σ_>x в эту формулу, мы будем получать различные значения вероятности P(X_>1, X_>2, …, X_>n) при каждом фиксированном ряде наблюдений X_>1, X_>2, …, X_>n. При некоторых значениях

 и  вероятность получения экспериментальных данных P(X_>1, X_>2, …, X_>n) достигает наибольшего значения. В соответствии с методом максимального правдоподобия именно эти значения и принимаются в качестве точечных оценок истинного значения и среднеквадратического отклонения результатов наблюдений.

Таким образом, метод максимального правдоподобия сводится к отысканию таких оценок  и , при которых функция правдоподобия

 

  (31)

достигает наибольшего значения. Постоянный сомножитель Δx_>n не оказывает влияния на решение и поэтому может быть отброшен. Полученные оценки

 и  истинного значения и среднеквадратического отклонения называются оценками максимального правдоподобия.

Для упрощения вычислений иногда бывает удобнее пользоваться логарифмической функцией правдоподобия

 

  (32)

Если наибольшее значение функции правдоподобия совпадает с максимальным значением, то оценки получаются из системы уравнений