Всё о метрологии | страница 18

где m_>X  — математическое ожидание и σ²_>X — среднеквадратическое отклонение результатов наблюдений.

Учитывая, что при полном исключении систематических погрешностей x–m_>X=δ и σ_>X=σ_>δ, для дифференциальной функции распределения случайной погрешности можно записать уравнение

Распределение, описываемое уравнениями (25) и (26), называется нормальным или распределением Гаусса.

На рис.8 изображены кривые нормального распределения случайных погрешностей для различных значений среднеквадратического отклонения  (σ_>1 > σ_>2 > σ_>3).

Из рисунка видно, что по мере увеличения среднеквадратического отклонения распределение все более и более расплывается, вероятность появления больших значений погрешностей возрастает, а вероятность меньших погрешностей сокращается, т.е. увеличивается рассеивание результатов наблюдений.

Вычислим вероятность попадания результата наблюдения в некоторый заданный интервал  (x_>1, x_>2]:

Заменим переменные:

после чего получим следующее выражение для искомой вероятности:

Интегралы, стоящие в квадратных скобках, не выражаются в элементарных функциях, поэтому их вычисляют с помощью так называемого нормированного нормального распределения с дифференциальной функцией

В приложении (табл. П. 5 и П. 6) приведены значения дифференциальной функции нормированного нормального распределения, а также интегральной функции этого распределения, определяемой как

С помощью функции Ф(z) вероятность P(x_>1 < X ≤ x_>2) находят как

При использовании данной формулы следует иметь в виду тождество

Φ(z) ≡ 1-Φ(–z)

вытекающее непосредственно из определения функции Ф(z).

Широкое распространение нормального распределения погрешностей в практике измерений объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей, являющейся одной из самых замечательных математических теорем, в разработке которой принимали участие многие крупнейшие математики — Муавр, Лаплас, Гаусс, Чебышев и Ляпунов. Центральная предельная теорема утверждает, что распределение случайных погрешностей будет близко в нормальному всякий раз, когда результаты наблюдения формируются под влиянием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.

3. Предположим, что результаты наблюдений распределены нормально, но их среднеквадратическое отклонение является величиной случайной, изменяющейся от опыта к опыту. Такое предположение более осторожное, чем предположение о неизменности σ