Всё о метрологии | страница 17



Случайная погрешность характеризует неопределенность наших знаний об истинном значении измеряемой величины, полученных в результате проведенных наблюдений. Согласно К. Шеннону мерой неопределенности ситуации, описываемой случайной величиной X, является энтропия [4]

 

являющаяся функционалом дифференциальной функции распределения p>X(x). Можно предположить, что любой процесс измерения формируется таким образом, что неопределенность результата наблюдений оказывается наибольшей в некоторых пределах, определяемых допускаемыми значениями погрешности. Поэтому наиболее вероятными должны быть такие распределения p>X(x), при которых энтропия обращается в максимум.

Для выявления вида наиболее вероятных распределений рассмотрим несколько наиболее типичных случаев [3].

1. В классе распределений результатов наблюдений p>X(x), обладающих определенной зоной рассеивания между значениями х = b и х = а шириной b-а=, найдем такое, которое обращает в максимум энтропию

  при наличии ограничивающих условий:

 p>X(x) > 0, , ,

где

  — математическое ожидание результатов наблюдений. Решение поставленной задачи находится методом множителей Лагранжа.

Искомая плотность распределения результатов наблюдений описывается выражением

 

  (23)

Такое распределение результатов наблюдений называется равномерным.

Значения дифференциальной функции распределения равномерной распределенной случайной погрешности постоянны в интервале [–а; +а], а вне этого интервала равны нулю (рис.6).

Поэтому выражение для дифференциальной функции распределения случайной погрешности можно записать в виде

 

  (24)

Определим числовые характеристики равномерного распределения. Математическое ожидание случайной погрешности находим по формуле (10):

 

Дисперсию случайной равномерно распределенной погрешности можно найти по формуле (18):

 

В силу симметрии распределения относительно математического ожидания коэффициент асимметрии должен равняться нулю:

 

Для определения эксцесса найдем вначале четвертый момент случайной погрешности:

 

поэтому

 

В заключение найдем вероятность попадания случайной погрешности в заданный интервал [δ>1, δ>2], равный заштрихованной площади на рис. 7.

 

2. В классе распределений результатов наблюдений p>X(x), обладающих определенной дисперсией σ²>X, найдем такое, которое обращает в максимум энтропию

при наличии ограничений:

p>X(x) > 0,

,
,
.

Решение этой задачи также находится методом множителей Лагранжа. Искомая плотность распределения результатов наблюдений описывается выражением