Всё о метрологии | страница 17
Случайная погрешность характеризует неопределенность наших знаний об истинном значении измеряемой величины, полученных в результате проведенных наблюдений. Согласно К. Шеннону мерой неопределенности ситуации, описываемой случайной величиной X, является энтропия [4]
являющаяся функционалом дифференциальной функции распределения p>X(x). Можно предположить, что любой процесс измерения формируется таким образом, что неопределенность результата наблюдений оказывается наибольшей в некоторых пределах, определяемых допускаемыми значениями погрешности. Поэтому наиболее вероятными должны быть такие распределения p>X(x), при которых энтропия обращается в максимум.
Для выявления вида наиболее вероятных распределений рассмотрим несколько наиболее типичных случаев [3].
1. В классе распределений результатов наблюдений p>X(x), обладающих определенной зоной рассеивания между значениями х = b и х = а шириной b-а=2а, найдем такое, которое обращает в максимум энтропию
p>X(x) > 0,
где
Искомая плотность распределения результатов наблюдений описывается выражением
Такое распределение результатов наблюдений называется равномерным.
Значения дифференциальной функции распределения равномерной распределенной случайной погрешности постоянны в интервале [–а; +а], а вне этого интервала равны нулю (рис.6).
Поэтому выражение для дифференциальной функции распределения случайной погрешности можно записать в виде
Определим числовые характеристики равномерного распределения. Математическое ожидание случайной погрешности находим по формуле (10):
Дисперсию случайной равномерно распределенной погрешности можно найти по формуле (18):
В силу симметрии распределения относительно математического ожидания коэффициент асимметрии должен равняться нулю:
Для определения эксцесса найдем вначале четвертый момент случайной погрешности:
поэтому
В заключение найдем вероятность попадания случайной погрешности в заданный интервал [δ>1, δ>2], равный заштрихованной площади на рис. 7.
2. В классе распределений результатов наблюдений p>X(x), обладающих определенной дисперсией σ²>X, найдем такое, которое обращает в максимум энтропию
p>X(x) > 0,
Решение этой задачи также находится методом множителей Лагранжа. Искомая плотность распределения результатов наблюдений описывается выражением