Когда в 1880 году Феликс Клейн возглавил в Лейпциге университетскую кафедру геометрии, его внимание и внимание его учеников было приковано к функциям, инвариантным относительно некоторых общих преобразований переменной величины. Поэтому он не мог не заметить первых статей Пуанкаре по фуксовым функциям. Ознакомившись с ними, он сразу же осознает важность выдвигаемых там идей. Даже среди математиков Клейн был одним из немногих, кто по-настоящему глубоко мог проникнуть в работы молодого французского математика и дать им оценку, основанную на подлинном понимании. Ведь, как и Фукс, он со своей школой занимается теми же проблемами, и понятие новой функции ему уже знакомо.
Клейн был поражен тем, как быстро овладел никому не известный еще, начинающий математик всеми позициями в этом вопросе. С некоторым беспокойством следит он за стремительными действиями молодого Бонапарта от математики. Ему просто не верится, что Пуанкаре охватил столь огромную проблему сразу во всей ее общности, в то время как сам он ограничивался до сих пор рассмотрением отдельных, специальных случаев. И вот после появления третьей заметки Пуанкаре он, весьма заинтригованный, пишет молодому автору письмо, датированное 12 июня 1881 года. Между двумя учеными завязывается переписка, в которой они обменялись 26 письмами. Тон переписки установился сам собою: Клейн на пять лет старше Пуанкаре и уже завоевал авторитет и известность в международных математических кругах, поэтому Анри выступает в роли молодого ученого, почти ученика, дружелюбно, но с подчеркнутой почтительностью беседующего с ведущим математиком, который, в свою очередь, весьма тактично и благожелательно восполняет порой пробелы в его математической эрудиции.
«Монсеньор, ваше письмо доказывает мне, что вы заметили раньше меня кое-какие результаты, которые я получил в теории фуксовых функций, — отвечает Пуанкаре на первое письмо из Лейпцига. — Я этому нисколько не удивился, так как знаю, насколько вы преуспели в познании неевклидовой геометрии, являющейся настоящим ключом к задаче, которая нас занимает. Я воздам вам должное в этом отношении, когда опубликую мои результаты…»
Но озадачивает Пуанкаре та оппозиция, которую он встретил со стороны немецкого коллеги в вопросе о названии новых функций. Клейн категорически против его предложения называть их фуксовыми. Он считает, что у Фукса слишком мало достижений в этой области математики. «…Я не оспариваю ту большую пользу, которую господин Фукс принес другим частям теории дифференциальных уравнений, — пишет Клейн в одном из своих писем, — но именно здесь его работы вызывают большое недоумение тем, что единственный раз, когда в одном из писем к Эрмиту он высказался об эллиптических модулярных функциях, проскальзывает фундаментальная ошибка, которую Дедекинд критиковал впоследствии слишком осторожно…» Клейн не склонен принижать значение ошибок Фукса, которые не позволили ему достичь правильных конечных результатов. Пуанкаре более великодушен, и в своем великодушии он не терпит компромиссов. «Что же касается названия этих фуксовых функций, — отвечает он, в свою очередь, Клейну, — я его не изменю. Уважение, которое я испытываю к господину Фуксу, мне это не позволит. К тому же, хотя и верно, что точка зрения ученого-геометра из Гейдельберга полностью отлична от вашей и моей, все же его работы определенно послужили исходной точкой и основанием всему тому, что делалось в этой теории…»
