За двадцать лет до этого английским математиком Дж. Дж. Сильвестром впервые были введены в науку понятие и термин «инвариант». В последующие годы теория инвариантов и ее применение к алгебраическим проблемам усиленно разрабатывались в Англии им самим и его другом А. Кэли, а во Франции — Ш. Эрмитом. В своих письмах Эрмит не раз шутливо называл себя и своих английских коллег «троицей инвариантов». Клейн положил понятие инварианта наряду с понятием группы в основу своих геометрических изысканий.
Кратко суть «Эрлангенской программы» заключается в том, что любая геометрия объявляется учением о свойствах фигур, инвариантных, то есть неизменных, при некоторых однотипных преобразованиях, совокупность которых образует группу. Каждому типу преобразований соответствует своя геометрия. Например, элементарная евклидова геометрия изучает свойства фигур, которые не зависят от их положения в пространстве. Две фигуры в этой геометрии считаются одинаковыми, если, двигая одну фигуру, можно точно совместить ее с другой. Группа преобразований, соответствующая евклидовой геометрии, составлена из различных движений, перемещений в пространстве. В проективной геометрии фигуры одинаковы, если можно одну из них спроектировать конусом световых лучей на другую так, что они полностью совпадут. Так совпадает с диском луны монета, которую мы держим в вытянутой руке. В этой геометрии любые треугольники считаются одинаковыми, так как всегда можно найти такой угол зрения, под которым эти треугольники точно совместятся. Точно так же одинаковыми принимаются любая окружность и любой эллипс. Множество всех мыслимых проекций, образованных расходящимся из точки пучком лучей, — такова группа проективной геометрии. Различные геометрии отличаются друг от друга тем, какие фигуры в них получаются одинаковыми, инвариантными, при дозволенных в этих геометриях преобразованиях. Геометрия становится теорией инвариантов некоторой группы преобразований.
Этим результатам Клейна потому уделено внимание в нашей книге, что инвариантно-групповой подход стал сквозной идеей в творчестве Пуанкаре, подведя его вплотную к приложению идей «Эрлангенской программы» в механике и физике. Не раз еще, рассматривая его труды, мы встретимся с этими терминами — группа и инвариант. Глубоко усвоив достоинства групповых методов и живо восприняв идею инвариантов, Пуанкаре одним из первых возвестил о новом теоретико-инвариантном подходе в точном естествознании.
