Впоследствии Пуанкаре признавался, что возникшие трудности, возможно, остановили бы его, если бы не помощь, которую он нашел в совершенно другой математической теории — в неевклидовой геометрии. Задача была решена смелым и изящным способом.
Если плоскость, заполненную параллелограммами периода эллиптической функции, преобразовать в неевклидову плоскость, где параллельные прямые пересекаются, где царят законы необычной геометрии, то вместо прямых сторон параллелограммов получатся дуги, а вместо самих параллелограммов — криволинейные многоугольники. И эти многоугольники будут так же плотно пристыкованы, как сами параллелограммы. Все теоремы о покрытии обычной плоскости параллелограммами периода можно теперь переформулировать с учетом неевклидовости и получить искомые преобразования новой группы. Эти преобразования тоже оказались простым переносом, только на неевклидовой плоскости. Открытые новые группы, неизвестные до этого времени математикам, Пуанкаре назвал фуксовыми в честь немецкого коллеги, мысль которого оказала на него столь плодотворное влияние.
События теперь разворачивались со скоростью импровизации. Да это и была самая настоящая математическая импровизация, ибо каждая ступень на пути к цели таила в себе неожиданность и требовала мгновенной перестройки мышления на новые методы, изобретения новых, не испробованных еще подходов. Построив фуксовы группы, Анри приступил к следующему, не менее сложному этапу. Нужно было выяснить, существуют ли для этих групп такие функции, которые не изменяются при найденных преобразованиях. Неизвестно почему, но Пуанкаре сначала исходил из ошибочного убеждения, что таких функций быть не может. В течение двух недель тщетно пытался он доказать свой отрицательный вывод. И только одна бессонная ночь разом перевернула все его представления. Но лучше предоставим слово самому Пуанкаре:
«…Каждый день я садился за рабочий стол, проводил за ним час или два, исследуя большое число комбинаций, и не приходил ни к какому результату. Однажды вечером, вопреки своей привычке, я выпил черного кофе; я не мог заснуть; идеи теснились, я чувствовал, как они сталкиваются, пока две из них не соединились, чтобы образовать устойчивую комбинацию. К утру я установил существование одного класса этих функций, который соответствует гипергеометрическому ряду; мне оставалось лишь записать результаты, что заняло несколько часов».
Открытие пришло к нему нежданно, как внезапное озарение, как награда за долгие муки поисков и сомнений.
