Подобные групповые свойства можно обнаружить не только у различных математических объектов — чисел, векторов, функций и так далее, но и у некоторых однотипных действий, преобразований, совершаемых над такими объектами. Так, совокупность всевозможных переносов периода вдоль оси времени, позволяющая построить простейшую периодическую функцию — синус или косинус, — составляет ее группу преобразований. В самом деле, два последовательных переноса (их сумма) равносильны одному переносу удвоенного периода и не меняют значения функции. Последовательность нескольких переносов можно совершать в любом порядке, функция все равно не изменится. Нулевым элементом этой группы можно считать отсутствие всякого переноса. Наконец, после каждого переноса периода по оси времени всегда можно совершить такой обратный перенос, который полностью его компенсирует, низводит до нуля. Такими же групповыми свойствами для эллиптической функции обладает совокупность переносов параллелограмма периода на плоскости.
Если новая функция относится к периодическим, для нее тоже должна найтись своя группа преобразований, свой «перенос» периода. Но дробно-линейному преобразованию переменной величины, при котором функция не меняет своего значения, соответствует весьма непростой «плоский период»: не параллелограмм, а какой-то криволинейный многоугольник. И это сразу затрудняет проблему нахождения такой группы преобразований. Не представляет труда выложить всю плоскость одинаковыми параллелограммами, плотно укладывая их один к другому, как паркет. Но как заполнить плоскость причудливыми фигурами, ограниченными неправильными криволинейными контурами, не оставляя просветов и обходясь без наползания, накладывания соседних фигур друг на друга? Пока не удастся решить этот вопрос, бессмысленно браться за поиски предполагаемой периодической функции. Сначала нужно убедиться, что существуют преобразования, в совокупности составляющие группу, применяя которые к одному-единственному криволинейному многоугольнику можно получить соседние, плотно к нему примыкающие многоугольники, затем более удаленные, смежные с ними, и так до тех пор, пока вся плоскость не будет покрыта плотно сколоченной причудливой мозаикой без зазоров и без перекрытий. Только тогда можно быть уверенным, что, зная функцию на одном таком многоугольнике, на одном периоде, можно воспроизвести ее на всей плоскости.
На пути решения проблемы встала самостоятельная, сама по себе сложная и интересная задача: построить дискретные группы преобразований, обладающие рассмотренными выше свойствами. Но задачу удобнее было решать в несколько иной формулировке: разбить всю плоскость на бесконечное число плотно прилегающих друг к другу, но неперекрывающихся криволинейных многоугольников. От теории дифференциальных уравнений мысль Анри проделала сложный и прихотливый путь к чисто геометрической задаче. Это умение улавливать связь между, казалось бы, совершенно разнородными и далекими друг от друга вопросами математики, преодолевая разделяющие их огромные мысленные дистанции, пройдет через все творчество Пуанкаре.
