Такими-то хитросплетенными умствованіями занимались пиѳагореіцы; они не были въ этомъ случаѣ одинокими, потому что извѣстно не мало и другихъ любителей таинственной, символической ариѳметики. Прежде всего назовемъ египтянъ, у которыхъ богъ Озирисъ представлялся числомъ 4, богиня Изида числомъ 3, а «Время» числомъ 5, и все это чертилось въ видѣ прямоугольнаго треугольника со сторонами 3, 4, 5, въ которомъ квадратъ гипотенузы, 5·5=25, равенъ суммѣ квадратовъ катетовъ: 3·3+4·4. Бредни халдеевъ относительно чиселъ доставили имъ славу волшебниковъ; каждый халдейскій богъ, отъ 1-го и до 60-го, имѣлъ свое особое число, ему посвященное; даже и духи не были обижены, потому что и имъ были посвящены числа, но только похуже—дробныя. Мистическое ученіе евреевъ, такъ наз., каббала (отсюда «каббалистическіе», т.-е. таинственные, знаки) возникло за 2 вѣка до Р. X. и развивалось вплоть до XIII столѣтія и далѣе. Первыя десять чиселъ считались у нихъ: «путями премудрости».
Христіанская средневѣковая Европа тоже не лишена была стремленій къ таинственному символическому толкованію чиселъ. Епископъ майнцкій Рабанъ Мавръ въ IX в. рѣшалъ вопросъ, почему Моисей и Илія постились ровно 40 дней?
«А потому, — отвѣчаетъ Рабанъ, — что 40 состоитъ изъ 4 десятковъ и этимъ знаменуетъ временную жизнь, ибо 4 выражаетъ время, а въ 10-ти можно распознать Бога и Его творенія».
Алькуинъ, другъ императора Карла Великаго, заинтересовался численной задачей: почему Св. Апостолъ Петръ поймалъ 153 рыбы? не больше и не меньше, а ровно 153? Алькуину казалось, что онъ нашелъ рѣшеніе: 153=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17, т.-е. число 153 равно суммѣ первыхъ 17-ти чиселъ. Но почему же именно 17-ти? На это Алькуинъ ничего не отвѣчаетъ.
Сколько труда и энергіи тратилось обыкновенно на эти изысканія и на эти изслѣдованія глубины числовыхъ отношеній! Правда, можно согласиться, что эти труды не пропали безъ всякой пользы и содѣйствовали теоріи ариѳметики и такъ называемой теоріи чиселъ, они заставили вникнуть въ разложеніе чиселъ на множителей и на слагаемыя и привели къ числовымъ рядамъ, которые теперь у насъ зовутся прогрессіями. Такъ древне происхожденіе прогрессій! У насъ онѣ отодвинуты на конецъ алгебры, а у древнихъ математиковъ имъ отводилось почетное мѣсто въ элементарной ариѳметикѣ.
Дѣленіе чиселъ на четныя и нечетныя извѣстно было еще въ древнемъ Египтѣ; оно же было вполнѣ извѣстно и Пиѳагору, потому что уже въ его времена была въ ходу игра «въ четъ и нечетъ». Кромѣ того, пиѳагорейцы раздѣлили числа на первоначальныя и составныя; первоначальными они называли, подобно намъ, такія числа, которыя не разлагаются на другихъ дѣлителей, а составными тѣ, которыя можно представить въ видѣ произведенія 2 множителей; и такъ какъ греки, любители и поклонники геометріи, смотрѣли и на ариѳметику со стороны геометрическихъ свойствъ, то они еще придумали называть первоначальныя числа линейными, а составныя плоскостными; дѣйствительно, всякое составное число, напр. 10, разлагается на 2 производителя, въ данномъ случаѣ на 2 и на 5, и потому можетъ обозначать собой площадь, хоть напрмѣръ, прямоугольника, у котораго стороны 2 и 5; первоначальныя же числа могутъ выражать собой только длину линіи, если, конечно, не вводить дробей.
