Согласно принципу суперпозиции, любое состояние системы может быть представлено в виде суперпозиции собственных состояний какой-либо физической величины. Возможность такого представления математически аналогична возможности разложения произвольного вектора по собственным векторам линейного эрмитового оператора. В соответствии с этим в К. м. каждой физической величине, или наблюдаемой, L (координате, импульсу, моменту количества движения, энергии и т.д.) ставится в соответствие линейный эрмитов оператор
. Собственное значение l оператора
интерпретируются как возможные значения физической величины
L, проявляющиеся при измерениях. Если вектор состояния
— собственный вектор оператора
, то физическая величина
L имеет определённое значение. В противном случае
L принимает различные значения l с вероятностью |
c>l|
>2, где
c>l — коэффициент разложения
по
:. (34)
Коэффициент c>l=
разложения
в базисе
называется также волновой функцией в l-представлении. В частности, волновая функция y(
х) представляет собой коэффициент разложения
по собственным векторам оператора координаты
.
Среднее значение
наблюдаемой
L в данном состоянии определяется коэффициентами
с>l, согласно общему соотношению между вероятностью и средним значением
.
Значение
можно найти непосредственно через оператор
и вектор состояния
(без определения коэффициентов
с>l) по формуле:
. (35)
Вид линейных эрмитовых операторов, соответствующих таким физическим величинам, как импульс, момент количества движения, энергия, постулируется на основе общих принципов определения этих величин и соответствия принципа, требующего, чтобы в пределе
0 рассматриваемые физические величины принимали «классические» значения. Вместе с тем в К. м. вводятся некоторые линейные эрмитовы операторы (например, отвечающие преобразованию векторов состояния при отражении осей координат, перестановке одинаковых частиц и т.д.), которым соответствуют измеримые физические величины, не имеющие классических аналогов (например,
чётность).
С операторами можно производить алгебраические действия сложения и умножения. Но, в отличие от обыкновенных чисел (которые в К. м. называют с-числами), операторы являются такими «числами» (q-числами), для которых операция умножения некоммутативна. Если
и
— два оператора, то в общем случае их действие на произвольный вектор
в различном порядке даёт разные векторы:
, т. е.
.
Величина
обозначается как
и называется коммутатором. Только если два оператора переставимы (коммутируют), т. е.
