Большая Советская Энциклопедия (КВ) | страница 65

= *.     (26)

Скалярное произведение вектора

 с самим собой, , — положительное число; оно определяет длину (норму) вектора. Длину вектора состояния удобно выбрать равной единице; его общий фазовый множитель произволен. Различные состояния отличаются друг от друга направлением вектора состояния в пространстве состояний.

  Во-вторых, можно рассмотреть операцию перехода от вектора

 к др. вектору  (или произвести преобразование ). Символически эту операцию можно записать как результат действия на вектор  некоторого линейного оператора

:

     (27)

При этом вектор

 может отличаться от  «длиной» и «направлением». Линейные операторы, в силу принципа суперпозиции состояний, имеют в К. м. особое значение; в результате воздействия линейного оператора на суперпозицию произвольных векторов  и  получается суперпозиция преобразованных векторов:

.     (28)

  Важную роль для оператора

 играют такие векторы , для которых  совпадает по направлению с , т. е.

     (29)

Векторы

 называют собственными векторами оператора ,а числа l — его собственными значениями. Собственные векторы  принято обозначать просто , т. е. . Собственные значения l образуют либо дискретный ряд чисел (тогда говорят, что оператор  имеет дискретный спектр), либо непрерывный набор (непрерывный спектр), либо частично дискретный, частично непрерывный.

  Очень важный для К. м. класс операторов составляют линейные эрмитовы операторы. Собственные значения l эрмитового оператора

 вещественны. Собственные векторы эрмитового оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг к другу, т. е.

 =0.     (30)

Из них можно построить ортогональный базис («декартовы оси координат») в пространстве состояний. Удобно нормировать эти базисные векторы на 1,

=1. Произвольный вектор  можно разложить по этому базису:

;   .     (31)

  При этом:

,     (32)

  что эквивалентно теореме Пифагора; если

 нормирован на 1, то

.     (33)

  Принципиальное значение для построения математического аппарата К. м. имеет тот факт, что для каждой физической величины существуют некоторые выделенные состояния системы, в которых эта величина принимает вполне определённое (единственное) значение. По существу это свойство является определением измеримой (физической) величины, а состояния, в которых физическая величина имеет определённое значение, называются собственными состояниями этой величины.

  Согласно принципу суперпозиции, любое состояние системы может быть представлено в виде суперпозиции собственных состояний какой-либо физической величины. Возможность такого представления математически аналогична возможности разложения произвольного вектора по собственным векторам линейного эрмитового оператора. В соответствии с этим в К. м. каждой физической величине, или наблюдаемой,