Большая Советская Энциклопедия (КВ) | страница 67

и М могут одновременно иметь определённые (точные) значения l и m. В остальных случаях эти величины не имеют одновременно определённых значений, и тогда они связаны соотношением неопределённостей. Можно показать, что, если , то DLDM ³ |c|/2, где DL и DМ — среднеквадратичные отклонения от средних для соответствующих величин.

  Возможна такая математическая формулировка, в которой формальный переход от классической механики к К. м. осуществляется заменой с-чисел соответствующими q-числами. Сохраняются и уравнения движения, но теперь это уравнения для операторов. Из этой формальной аналогии между К. м. и классической механикой можно найти основные коммутационные (перестановочные) соотношения. Так, для координаты и импульса

. Отсюда следует соотношение неопределённостей Гейзенберга . Из перестановочных соотношений можно получить, в частности, явный вид оператора импульса, в координатном (х–)представлении. Тогда волновая функция есть y(х), а оператор импульса — дифференциальный оператор

, т. е. .

  Можно показать, что спектр его собственных значений непрерывен, а амплитуда вероятности

 есть де-бройлевская волна ( — собственный вектор оператора импульса ). Если задана энергия системы как функция координат и импульсов частиц, Н (р, х), то знание коммутатора  достаточно для нахождения , а также уровней энергии как собственных значений оператора полной энергии .

  На основании определения момента количества движения M_>z = хр_>у — ур_>х,... можно получить, что

. Эти коммутационные соотношения справедливы и при учёте спинов частиц; их оказывается достаточно для определения собственного значения квадрата полного момента: , где квантовое число j — целое или полуцелое число, и его проекции , m = -j, -j + 1, …, + j.

  Уравнения движения квантовомеханической системы могут быть записаны в двух формах: в виде уравнения для вектора состояния

     (36)

— шрёдингеровская форма уравнения движения, и в виде уравнения для операторов (q-чисел)

     (37)

— гейзенберговская форма уравнений движения, наиболее близкая классической механике. Из гейзенберговской формы уравнений движения, в частности, следует, что средние значения физических величин изменяются по законам классической механики; это положение называется теоремой Эренфеста.

  Для логической структуры К. м. характерно присутствие двух совершенно разнородных по своей природе составляющих. Вектор состояния (волновая функция) однозначно определён в любой момент времени, если задан в начальный момент. В этой части теория вполне детерминистична. Но вектор состояния не есть наблюдаемая величина. О наблюдаемых на основе знания