Большая Советская Энциклопедия (КВ) | страница 56

  Временное уравнение Шрёдингера. До сих пор рассматривались лишь возможные квантовые состояния системы и не рассматривалась эволюция системы во времени (её динамика), определяемая зависимостью волновой функции от времени. Полное решение задач К. м. должно давать волновую функцию y как функцию координат и времени t. Для одномерного движения она определяется уравнением

,     (9)

являющимся уравнением движения в К. м. Это уравнение называется временным уравнением Шрёдингера. Оно справедливо и в том случае, когда потенциальная энергия зависит от времени: V = V (x, t).

  Частными решениями уравнения (9) являются функции

.     (10)

  Здесь E — энергия частицы, а y(х)удовлетворяет стационарному уравнению Шрёдингера (7); для свободного движения y(х) является волной де Бройля e^>ikx.

  Волновые функции (10) обладают тем важным свойством, что соответствующие распределения вероятностей не зависят от времени, т.к. |y(x, t)|^>2 = |y(x)|^>2. Поэтому состояния, описываемые такими волновыми функциями, называемые стационарными; они играют особую роль в приложениях К. м.

  Общее решение временного уравнения Шрёдингера представляет собой суперпозицию стационарных состояний. В этом общем (нестационарном) случае, когда вероятности существенно меняются со временем, энергия E не имеет определённого значения. Так, если

,

то E =

 с вероятностью ½C_>1½^>2 и E =  с вероятностью ½C_>2½^>2. Для энергии и времени существует соотношение неопределенностей:

,     (11)

где DE — дисперсия энергии, а Dt — промежуток времени, в течение которого энергия может быть измерена.

  Трехмерное движение. Момент количества движения. До сих пор рассматривалось (ради простоты) одномерное движение. Обобщение на движение частицы в трех измерениях не содержит принципиально новых элементов. В этом случае волновая функция зависит от трех координат х, у, z (и времени): y = y (х, у, z, t), а волна де Бройля имеет вид

,     (12)

где p_>x, p_>y, p_>z,— три проекции импульса на оси координат, а

. Соответственно имеются при соотношения неопределенностей:

, , ,     (13)

  Временное уравнение Шредингера имеет вид:

.     (14)

  Это уравнение принято записывать в символической форме

,     (14, a)

  где

— дифференциальный оператор, называемый оператором Гамильтона, или гамильтонианом.

  Стационарным решением уравнения (14) является:

,     (15)

где y_>0 — решение уравнения Шредингера для стационарных состояний:

= Ey_>0     (16)

или

.       (16,а)