Компьютерра, 2007 № 33 (701) | страница 31

Сами же фрактальные модели обычно представляют собой процессы последовательного измельчения и перемешивания исходных заготовок в соответствии с коротким списком правил. Как раз для точного подсчета (или отсчета?) того, что еще осталось от исходной заготовки после бесконечного числа таких шагов, Сергеев и использовал свои новые числа – в качестве иллюстрации их потенциальных возможностей.

Пример простого фрактального процесса – построение классического канторова множества. Заготовка – отрезок [0, 1]. Первый шаг – выбрасываем (Гринуэй, может быть, сказал бы – топим) среднюю треть этой заготовки. Получаем уже два отрезка, но маленьких: [0, 1/3] и [2/3, 1]. Затем топим (пардон, стираем) среднюю треть у каждого из этих двух, затем – у каждого из полученных четырех, и так далее. Ясно, что при рисовании на мониторе оставшиеся отрезки скоро станут меньше пикселов, и ничего кроме пустого экрана этот фрактальный процесс не даст (зато при другом выборе заготовок и операций с ними мы могли бы получить ветку сирени или реалистичный горный ландшафт).

Однако с точки зрения чистой математики в пределе остается отнюдь не пустота. Предельное канторово множество – трудновообразимый континуум (то есть нечто эквивалентное исходному отрезку!), все связи между точками которого разорваны выбрасыванием бесчисленных крошечных отрезков.

С использованием разложения по гросс-единицам Сергеев описывает этот процесс (и его результат) иначе. На n-м шаге процесса имеется 2n отрезков, каждый длиной 3-n. Стало быть, после

шагов бесконечно большое количество отрезков будет равно (2

), а их общая длина выразится бесконечно малым числом ((2/3)

). Эти выражения – точная характеристика фрактального множества, которая изменится при других параметрах порождающего процесса (если топить больше, или меньше, да еще и в других местах). Разумеется, аналогичные характеристики есть и в классике – например, фрактальная размерность, которая в данном случае равна log(2)/log(3). Но в классике лишен, конечно, смысла вопрос, насколько отличаются результаты последней и предпоследней из некоторого бесконечного числа итераций. Через новые числа это легко выразить: так, на шаге

– 1 общая длина отрезков равна (2/3) (

– 1).

Однако в новой системе невозможно пересчитать все полученные отрезки: ведь их будет (2

), то есть строго больше, чем

А мы помним постулат, что любой процесс, в том числе и процесс последовательного счета, не может использовать более