И, наконец, я подхожу к тому, что же все-таки является основой алгебродинамического подхода: это исключительные алгебры. Давайте перейдем к ним, то есть к математическим основаниям моего подхода.
Что такое исключительная алгебра? Наверное, большинство учило комплексные числа: это пара чисел с законами сложения и вычитания обычными, покомпонентными, и с простым законом умножения, который, в общем-то, просто следует из того, что вы добавляете символ «корень из минус 1», так называемую «мнимую единицу» «I», квадрат которой равен минус единице. Красивейшая вещь. Они соответствуют определенной геометрии: геометрии плоскости. Все знают, что комплексное число можно изобразить на плоскости.
Оказывается, что их немного, таких законов. И если закон умножения комплексных чисел соответствует геометрии двумерного мира плоскости, то возникает вопрос: а может быть, какая-то числовая система такого же типа соответствует нашему трехмерному пространству. А если говорить о теории относительности, которую мы давно уже «приняли на вооружение», то и 4-мерному пространству, так называемому пространству Минковского.
Это старая идея. И реализовал ее, открыл алгебру трехмерного пространства великий физик Уильям Гамильтон. Известна даже дата, когда он это сделал. На мосту в Дублине через Королевский канал имеется табличка, где написано: «здесь 16 октября 1843 года Уильям Гамильтон открыл свою таблицу умножения кватернионов». Гамильтон, который предложил самую элегантную из известных трактовку классической механики, который много сделал в оптике, в частности предложил оптико-механическую аналогию, – он больше всего в своей жизни ценил и дорожил открытием кватернионов. Удивительно. И всю свою оставшуюся жизнь после этого открытия он посвятил разработке этой алгебры.
Дайте, пожалуйста, формулу № 2. Здесь, в отличие от комплексных чисел, имеется не две и даже не три, а четыре базисных единицы: одна действительная и тройка мнимых единиц, как бы три «I»: «I, J, К». Квадрат каждой из них равен минус единице, так же как для комплексных чисел. Но, кроме того, и в этом была вся тонкость, почему эту алгебру не могли открыть раньше, между мнимыми единицами имеется весьма специфическое взаимное умножение: каждая пара перемноженных мнимых единиц приводит в результате к третьей. Самое забавное при этом, что если переставить порядок сомножителей, то результат изменит знак. То есть, например «I*J=K», а «J*I» будет равно уже «-K». Эта таблица оказывается единственной, исключительной во многих отношениях, и была доказана потом теорема, что кроме такой алгебры есть еще только одна подобная восьмимерная алгебра, алгебра октав, но и она в некоторых отношениях уже не столь красива, как алгебра Гамильтона.
