Некоммутативность, то есть зависимость произведения от порядка сомножителей, действительно, по-видимому, лежит в основе этого мира, потому что она возникает везде: в квантовой механике, например, она является основой всего математического аппарата. Природа некоммутативности до сих пор не ясна. Но, может быть, она связана как раз с существованием таких исключительных алгебр.
Так вот, оказалось, что эта алгебра Гамильтона даже в большей степени «живет» и описывает и как бы «кодирует» наше трехмерное пространство, чем комплексные числа – двумерное (пространство). Потому что, если вы будете поворачивать плоскость, на которой «живут» комплексные числа, закон умножения будет меняться, будет оставаться постоянным только «модуль» комплексного числа. А если вы будете вращать трехмерное пространство, то закон умножения этой алгебры – и она единственная такая – будет оставаться инвариантным, он будет один и тот же во всех системах отсчета. Математики говорят, что группа симметрий, группа автоморфизмов этой алгебры соответствует группе вращений трехмерного пространства.
И поэтому после открытия Гамильтона начался настоящий кватернионный «бум», который продолжался долгие годы и даже вспыхивает эпизодически до сих пор. И действительно, эта алгебра удивительно тесно связана со свойствами нашего трехмерного пространства. Известно, что даже движение твердых тел, движение спутников и тому подобное рассчитывается очень легко и изящно в кватернионных переменных. До сих пор ничего лучшего невозможно предложить, это самый элегантный и самый простой математический аппарат, который позволяет все это рассчитывать.
Но Гамильтона волновало не это. Он хотел понять, как свойства физического Мира могут быть «скрыты» во внутренних свойствах этой алгебры. И более того: поскольку оказалось, что триплеты перемножать нельзя так красиво, как величины, содержащие четвертую единицу, у него сразу появилась мысль: а не связать ли эту четвертую единицу, действительную единицу, с физическим Временем? Это было задолго до теории относительности, задолго до Г. Минковского, который связал геометрически время и координаты в единое 4-мерное многообразие.
Конечно, ничего этого у Гамильтона не получилось. И теперь мы хорошо понимаем, почему: потому что эта алгебра не имеет прямого отношения к преобразованиям Лоренца. Для преобразований Лоренца, свойственных нашему миру и основных в теории относительности, эта алгебра чуждая. И это было одной из причин, почему со временем наступило разочарование в идеях Гамильтона и его последователей.
