Проблемы Гильберта (100 лет спустя) | страница 7
х = А, α>1 α>2 ... α>n ...,
где А — целое число, не обязательно положительное, a α>1, α>2, ... α>n, ... — цифры (от 0 до 9). Это представление неоднозначно: например,
1/2 = 0,50000... = 0,49999...
(в одном варианте записи, начиная со второй цифры после запятой, идут одни нули, а в другом — одни девятки). Чтобы запись была однозначной, мы в таких случаях всегда будем выбирать первый вариант. Тогда каждому числу соответствует ровно одна его десятичная запись.
Предположим теперь, что нам удалось пересчитать все действительные числа. Тогда их можно расположить по порядку:
х>1 = А, α>1 α>2 α>3 α>4 ...
х>2 = B, β>1 β>2 β>3 β>4 ...
х>3 = С, γ>1 γ>2 γ>3 γ>4 ...
х>4 = D, δ>1 δ>2 δ>3 δ>4 ...
………
Чтобы прийти к противоречию, построим такое число у, которое не сосчитано, т. е. не содержится в этой таблице.
Для любой цифры а определим цифру ̅а следующим образом:
- 12 -
Положим
Например, если
х>1 = 2,1345 ...
х>2 = -3,4215 ...
х>3 = 10,5146 …
х>4 = -13,6781 …
………
То
Итак, с помощью диагонального процесса мы получили действительное число у, которое не совпадает ни с одним из чисел таблицы, ведь у отличается от каждого x>k по крайней мере к-й цифрой десятичного разложения, а разным записям, как мы знаем, соответствуют различные числа.
Предположив, что можно пересчитать все действительные числа, мы пришли к противоречию, указав число, которое не сосчитано. Следовательно, множество R. несчётно.
Множества R. и N не являются эквивалентными, и N ⊂ R, поэтому всех действительных чисел в некотором смысле «больше» чем натуральных. Говорят, что мощность множества R. (мощность континуума) больше чем мощность N.
Континуум-гипотеза
Теперь мы располагаем всеми необходимыми сведениями для того, чтобы сформулировать знаменитую первую проблему Гильберта:
Континуум-гипотеза. С точностью до эквивалентности, существуют только два типа бесконечных числовых множеств: счётное множество и континуум.
Иначе говоря, нужно установить, существует ли множество промежуточной мощности, т. е. такое множество Τ, N ⊂ Τ ⊂ R, которое не эквивалентно ни N, ни R.
- 13 -
Этой проблемой занимались очень многие математики. Сам Георг Кантор неоднократно заявлял, что доказал эту гипотезу, но всякий раз находил у себя ошибку.
О ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ В МАТЕМАТИКЕ
Математика — точная наука, требующая строгости рассуждений. Но что означает строго доказать какое-либо утверждение? Это означает вывести его из аксиом — исходных положений, принимаемых без доказательства.
