Проблемы Гильберта (100 лет спустя) | страница 6

Таким образом, Z эквивалентно N.

Всякое множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счётным. Такое множество можно «пересчитать»: пронумеровать все его элементы натуральными числами.

На первый взгляд, рациональных чисел на прямой «намного больше» чем целых. Они расположены всюду плотно: в любом сколь угодно малом интервале их бесконечно много. Но оказывается, что множество Q также счётно. Докажем сначала счётность Q^>+ (множества всех положительных рациональных чисел).

Выпишем все элементы Q^>+ в такую таблицу: в первой строке — все числа со знаменателем 1 (т. е. целые), во второй — со знаменателем 2 и т. д. (см. рисунок на с. 11). Каждое положительное рациональное число обязательно встретится в этой таблице, и не однажды (например, число 1 = 1/1 = 2/2 = 3/3 = … встречается в каждой строке этой таблицы ).

- 10 -

А теперь мы пересчитаем эти числа: идя по стрелочкам, присваиваем каждому числу номер (или пропускаем это число, если оно уже встречалось нам раньше в другой записи).

Поскольку мы двигаемся по диагоналям, то мы обойдём всю таблицу (т. е. рано или поздно доберёмся до любого из чисел).

Итак, мы указали способ пронумеровать все числа из Q^>+, т. е. доказали, что Q^>+ счётно.

Заметим, что этот способ нумерации не сохраняет порядка: из двух рациональных чисел большее может встретиться раньше, а может — и позже.

Как же быть с отрицательными рациональными числами и нулём? Так же как с космозоологами и филателистами в бесконечной гостинице. Пронумеруем Q^>+ не всеми натуральными числами, а только чётными (давая им номера не 1, 2, 3, ..., а 2, 4, 6, ...), нулю присвоим номер 1, а всем отрицательным рациональным числам присвоим (по такой же схеме, что и положительным) нечётные номера, начиная с 3.

Теперь все рациональные числа занумерованы натуральными, следовательно, Q счётно.

Возникает естественный вопрос:

Может быть, все бесконечные множества счётны?

- 11 -

Оказалось, что R — множество всех точек на числовой прямой — несчётно. Этот результат, полученный Кантором в прошлом веке, произвёл очень сильное впечатление на математиков.

Докажем этот факт так же, как это сделал Кантор: с помощью диагонального процесса.

Как мы знаем, каждое действительное число х можно записать в виде десятичной дроби: