Математика для гуманитариев: живые лекции | страница 24

Возьмем и изогнем, изомнем, растянем поверхность шара, но нигде не порвем;, и не склеим, никакие две точки в одну. Мы можем из нее таким образом получить, например, куб (то есть, естествен­но, не сам куб, а его поверхность). Чтобы понять, как это дела­ется, покажем, как из круга, изготовленного из резины, получить квадрат (размеры квадрата неважны). Для этого надо в четырех равноудаленных местах границы круга потянуть наружу резино­вый слой, пока он не примет форму квадрата. В частности, точки границы круга превратились в точки периметра квадрата.

Можно много чего сделать из резиновой камеры сдутого фут­больного мяча. Но есть интуиция, которая подсказывает, что ав­томобильную (или велосипедную) камеру из камеры футбольного мяча сделать будет затруднительно, даже используя те широкие возможности, которые предоставляет нам топология. Куб, элли­псоид (то есть сжатая поверхность сферы), яблоко, арбуз — по­жалуйста, а вот бублик из шара не сделаешь, не порвав его, либо не склеив между собой некоторые точки. Согласно сказанному вы­ше, надо различать две разные задачи: 1) Из заполненного шара сделать заполненный бублик и 2) Из поверхности шара сделать поверхность бублика. Первая задача «решена» в подписи к рис. 28.

И Эйлер задался вопросом, а можно ли это утверждение дока­зать? Вроде бы интуитивно оно совершенно понятное. Но матема-

тика ставит задачу перевести очевидное на язык строго доказанно­го. Ведь если мы откроем цивилизацию, которая, например, живет на плоскости, для ее жителей будет не очевиден рассматриваемый нами факт (см. врезку 2). А с номощыо математики мы сможем передать им содержание теоремы. К чему я клоню?

Врезка 2. Эйнштейн — о топологии

Однажды А. Эйнштейна попросили совсем кратко, на понятном любому языке, пояснить, в чем состоит суть сделанных им откры­тий. Он ответил: все мы, люди, словно маленькие жучки с завя­занными глазами, ползающие но поверхности большого мяча и во­ображающие, что двигаемся но плоскости. Я же первый понял, что мир, в котором я живу, искривлен. Но пока не совсем понятно, как именно он искривлен. (То есть, «по-научному», каков топологиче­ский тип космоса.)

А вот к чему. Несколько лет назад математик Г. Перельман установил похожий факт, но только в пространстве больших из­мерений. Факт про фигуры в многомерном пространстве, которые локально похожи на искривленное трехмерное пространство. Мы живом в трехмерном пространстве, мы четвертого измерения не ви­дим и не чувствуем. Мы можем только рассуждать, что четвертое измерение это время, но объять его взором не можем. Поэто­му мы не можем говорить так спокойно и убежденно, что сделать из шара тор в пространстве больших измерений нельзя. (Ведь в 4­мерном пространстве, как указывалось выше, МОЖНО, не нару­шая правил топологии, превратить незаметным образом человека с сердцем, расположенным слева, в человека с сердцем, располо­женным справа.)