Математика для гуманитариев: живые лекции | страница 10

А.С.: Пятнадцатью. Правильно.

Слушатель: 15 факториал?

А.С.: Нет. 15 факториал — это множество всех возможных строк.

Но водь гуманитарии но обязаны знать слово «факториал», о ко­тором мы с вами говорим. Термин «факториал» нам понадобится в других томах, поэтому я ого определю.

Есть некоторое число п. Простите, я употреблю буковку. Умно­жим п на п—1, потом на п^2 и так далее, и. наконец, умножим на 2 и на 1. То. что получилось, обозначается п! (это и есть факториал числа п):

п! = п · (п — 1) · (п — 2) · ... · 2 · 1.

Например. «15 факториал»:

15! = 15-14-13-12-11-...-2-1.

Слушатель: Мы сейчас что-то прояснили?

А.С.: Нет. Было произнесено слово «факториал». И теперь я его объясняю.

Факториал это произведение подряд идущих, убывающих до единицы натуральных чисел. В нашей задаче он не понадобится (понадобится в другой лекции).

Первый кружок вы можете выбрать 15 разными способами. Сколько остается способов для выбора второго кружка?

Слушатели: 14.

А.С.: 14. Итого? Есть такое знаменитое правило произведения. Число способов выбрать пару это произведение количества спо­собов выбрать первый ее элемент на количество способов выбрать второй. Почему? Мы выбрали первый. Посмотрим, сколько пар мы с ним можем получить. Второй выбирается 14 способами, значит пар 14. А теперь мы выбрали другой первый, с ним тоже можно составить 14 пар. И так далее. Получается 14 + 14 + 14... и так

раз.

Отсюда и берется правило произведения: 15 · 14 способов.

Но есть одна хитрость. Я хочу посчитать пары независимо от по­рядка кружочков. Чтобы вот такие пары (см. рис. 13) не различа­лись. Что надо сделать с количеством способов?

Слушатель: Разделить на два.

А.С.: Да. Мы любую такую пару посчитали два раза. Один раз. когда мы сначала взяли синий круг, а потом белый. В другой раз мы первым взяли белый круг, а вторым синий. То есть мы каждую пару посчитали два раза. Поэтому ответ (15 · 14) : 2 = 105.

Мы посчитали число имеющихся пар из 15 элементов «Цэ из 15 по 2». как говорят математики. «Цэ» означает первую букву слова combination (комбинация). См. формулу (1).

_>С2_ _>= 15_14 _{>= 105>}^

Математики любят символы. Но зачем они? Затем, что иначе придется очень много писать. Символы и язык математики нужны, чтобы сокращать запись. Почему древние греки и римляне не до­шли до современных высот математики? Потому, что они тратили очень много времени на лингвистическую работу перевода мате­матики в слова (и обратно: слов в математику). А вот когда ма­тематика перешла на символы, начался прорыв, о котором я еще расскажу.