«Здание науки строится не как дом, где сначала закладывают прочный фундамент, а потом уже переходят к сооружению конструкции и отделке комнат. Наука прежде всего охватывает широкое пространство, чтобы иметь возможность свободно развиваться. И только после того, как проявляются первые признаки того, что ее слабый фундамент не выдерживает, принимаются за его укрепление и переопределение. Это признак не слабости науки, а наоборот. Это правильный и здоровый путь ее развития».
В математике время исследования оснований уже пришло. С 1900 года убежденный в надежности аксиоматического метода, который так хорошо себя показал в геометрии, Гильберт навязывал аксиоматический подход остальным математическим дисциплинам, в частности теории множеств, а также сделал первые шаги для основания математической теории доказательства. Пока платонизм и логицизм утверждали, что точностью математики ведает царствие небесное, а интуиционизм приписывал это человеческому разуму, формализм Гильберта связывал ее с исписанным листом бумаги. Математику можно рассматривать как игру знаков, лишенных значения, как цепь символов на бумаге, свободных от смысла, но подчиняющихся некоторым правилам, чтобы с ними можно было работать. Формалистская позиция, которую развили Гильберт и его соратники (Бернайс и Аккерман), предлагала решение, основанное на двух моментах: во-первых, на общей аксиоматизации математики и логики, а во-вторых, на доказательстве непротиворечивости этой формальной системы. Доказательство, что внутри системы нельзя вывести никакого противоречия, было краеугольным камнем формалистского здания.
Однако сперва требовалось дать отпор набравшему силу интуиционизму европейских математиков. После Первой мировой войны критика классической математики, сформулированная Брауэром и Вейлем, усилилась и побудила Гильберта попытаться искоренить все скептические сомнения. Гильберт осознавал, что позиция Брауэра и Вейля не лишена обоснования и нужно действовать осторожно, чтобы не спровоцировать парадоксы теории множеств. Но он не был готов отказаться ни от теории Кантора (не зря первой проблемой в списке 1900 года была его континуум-гипотеза), ни от достижений классической математики (включая достижения, полученные с использованием самой многострадальной аксиомы, аксиомы выбора). Значительная часть его успеха как математика обязана доказательствам существования, как раз против таких доказательств Брауэр (как до него Кронекер и Гордан) и выступал.
