Несмотря на кажущуюся невинность, аксиома выбора имеет удивительные следствия, противоречащие интуиции. Одно из них, по примеру Цермело, — это принцип вполне упорядочивания, который гласит, что любое множество, каким бы странным оно ни казалось, может быть вполне упорядоченным, то есть упорядоченным линейно, как натуральные числа, где любое подмножество всегда обладает первым элементом. Более того, аксиома выбора вскоре оказалась необходимой для доказательства того, что арифметика кардинальных чисел работает корректно (что два любых кардинальных числа всегда сравнимы), а также для доказательства через лемму Цорна многочисленных базовых результатов алгебры и анализа. Это спровоцировало международную дискуссию между сторонниками и противниками аксиомы выбора (это даже нашло отражение в специальном номере журнала Mathematische Annalen, издаваемого Клейном и Гильбертом). С одной стороны, этот мощный инструмент защищали Цермело, Рассел и Гильберт. С другой — против его необоснованного использования боролся молодой нидерландский математик Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр (1871-1956), который рассчитывал на поддержку важных французских математиков: Рене-Луи Бэра (1874-1932), Эмиля Бореля (1871-1956) и Анри Лебега (1875-1941). Если на островах главенствовали логицисты, то на континенте буйствовали формалисты — под предводительством Гильберта — и интуиционисты, во главе которых стоял Брауэр.
БРАУЭР ПРОТИВ ГИЛЬБЕРТА
Брауэр заявлял, что «пируэты Цермело» способствуют прочному обоснованию математики раз и навсегда. Его беспокоило то, что последние 25 лет абстрактная математика возводила воздушные замки. Ему нельзя отказать в проницательности в том, что касается рисков аксиомы выбора. Благодаря ей были извлечены на свет многочисленные математические монстры. И в их числе, несколькими годами позже (в 1926 году), парадокс Банаха — Тарского. Теорема, стоящая за ним, обязательно использует эту сомнительную аксиому и производит следующее парадоксальное распределение множеств в трехмерном пространстве: шар можно разложить на конечное число отдельных частей, так что на их основе можно вновь построить два шара, идентичных исходному. Это такой математический аналог библейского чуда хлебов и рыб (единственное, что сочетается со здравым смыслом, — то, что оба шара, идентичных исходному, не измеряются в понимании Лебега, поэтому данный парадокс никогда не появляется при вычислении объемов).
В 1907 году Брауэр получил степень доктора наук в Амстердамском университете, защитив диссертацию «Об основаниях математики», в которой наблюдались интуиционистские черты. Через пять лет, 14 октября 1912 года, уже получив признание как математик, с огромным профессиональным багажом за спиной, он прочитал лекцию под названием «Интуиционизм и формализм». Эта лекция обозначила начало его плана по обоснованию математики, и сразу же на нее навесили ярлыки «интуиционизм» и «формализм». В этой лекции Брауэр отсылал к Канту, Кронекеру и недавно скончавшемуся Пуанкаре (самой яркой из «звезд») как к своим предшественникам.
