Гильберт. Основания математики | страница 40
Базовые понятия новой ветви анализа принадлежат Эйлеру и Лагранжу. Первый ввел название вариационное исчисление, а второй создал «метод вариации», который позволяет решить многие проблемы в рамках этой дисциплины. Основа вариационных проблем следующая: предполагается множество С любых элементов (чисел, геометрических точек, функций и так далее), которые обозначаются как м, и каждому элементу и назначается число F(u). Если С — это числовое множество, то F(u) — это функция от одной переменной; если С — это множество точек на плоскости, то F(u) — это функция от двух переменных, и так далее. Но если С — это множество функций, то F(u) — это то, что называется функционалоМу который в одной из различных функций, входящих в состав множества, может принимать значение экстремума (максимума или минимума).
Чтобы решить проблему вариационного исчисления, сравнивали пробную функцию и со всеми ближайшими функциями, то есть с теми, которые получаются при легком варьировании пробной функции и (отсюда название «вариационное исчисление»), и вычисляли функционал F для каждой функции. Для функции, являющейся решением, характерно, что функционал для всех ближайших функций всегда больше (если мы ищем минимум). В этом суть «метода вариации». Эйлер и Лагранж обнаружили: для того чтобы функция и множества С предоставляла экстремальное значение (максимум или минимум) функционалу, F(ü) должно удовлетворять некоторому дифференциальному уравнению (уравнениям Эйлера — Лагранжа). Однако удовлетворение данному уравнению — необходимое, но недостаточное условие.
РИС. 3:
Дуга циклоиды между А и В.
РИС. 4:
Какую из трех возможных траекторий выберет частица, чтобы из А попасть в В? Принцип наименьшего действия устанавливает, что это траектория, минимизирующая величину под названием действие.
Мерой успеха этой плеяды идей является то, что многие математики XVIII и XIX веков стремились истолковать появлявшиеся в физике дифференциальные уравнения как экстремальные условия определенных функционалов. Законы физики можно было переписать в терминах принципов минимума, поскольку природа всегда стремится к оптимизации. Эту же цель преследовали Пьер Луи де Мопертюи (1698-1859) в механике по принципу наименьшего действия (см. рисунок 4), а также Пьер де Ферма (1601-1665) в оптике: траектория, которой следует луч света, проходя из точки А в другую точку В другой среды, — это траектория, требующая наименьшего времени. Физические трактаты конца XIX века были полны подобных принципов, утверждающих, что определенные физические процессы всегда протекают так, чтобы минимизировалось некое количество. Это были так называемые вариационные принципы.
