Данная уважаемая область анализа была видом продолжения анализа бесконечно малых. Если традиционный анализ показывал, как найти максимумы или минимумы функции, вариационное исчисление демонстрировало, как определить функцию, максимизирующую или минимизирующую определенный функционал, который обычно выражен в виде интеграла. Однако эта проблема оказалась намного сложнее, и в конце XIX века еще нельзя было определить ряд критериев, гарантировавших существование экстремума (максимума или минимума). Таким образом, неудивительно, что вариационное исчисление касается 3 из 23 проблем Гильберта.
В то время как в проблеме 23 Гильберт задался вопросом о возможном обобщении вариационных методов, в проблемах 19 и 20 он озаботился свойствами и существованием решений проблем вариационного исчисления. Два вопроса оставались открытыми. Первый — существование или отсутствие решения (проблема 20), и второй — свойства, которым в случае своего существования это решение удовлетворяет. Если отбросить техническую оболочку, в проблеме 19 Гильберт спрашивал, должны ли физические проблемы, которые обычно позиционируются как проблемы вариационного исчисления (проблема Дирихле, например), всегда иметь решения с наилучшим поведением: всегда ли решения такие же плавные и регулярные, как аналитические функции (которые можно продифференцировать бесконечное число раз)? Эта проблема была решена в 1904 году российским математиком Сергеем Бернштейном (1880-1968) в его докторской диссертации (одним из руководителей которой был Гильберт). Бернштейн доказал, что решения уравнений в частных, интересовавших Гильберта производных (включая решения уравнения потенциала Лапласа), были, в случае их существования, регулярными, с идеальным поведением, если они удовлетворяли некоторым довольно простым условиям об их трех первых производных. Становилось очевидным, что, например, если интеграл Дирихле достигал своего минимума, то происходило это обязательно в допустимой функции.
Но в том же 1904 году Гильберт удивил математический мир, восстановив доверие к принципу Дирихле, которое тот утратил после критики Вейерштрасса. До Вейерштрасса предполагалось, что в вариационном исчислении у любого функционала есть минимум. Гильберт доказал, что в конкретном случае энергии ДирихлеJ(u) действительно есть минимум. Он построил минимизирующую последовательность функций, значения которой для интеграла были каждый раз все более низкими и сходились к наименьшему значению. И на ее основе он получил минимум, то есть функцию и
