Так как интегрируемое J(u) всегда положительно (является суммой квадратов), интеграл J(u) всегда больше или равен нулю. Поэтому Дирихле показалось рациональным, что должна существовать функция u, которая имела бы наименьшее значение. Заметьте, что если бы не было этой нижней границы, предполагающей нуль, могло бы оказаться так, что получаемые значения с каждым разом становились бы все меньше (0, -1, -2, -3...), причем это необязательно должно быть наименьшее значение. Предполагая существование этой минимизирующей функции u из J(u)> Дирихле доказал, что функция u гармоническая и, следовательно, удовлетворяет исходной проблеме, которую нужно решить.
Но оставалось неясно, действительно ли существует этот минимум, эта функция u, в которой интеграл Дирихле достигал бы своего наименьшего значения. Стоит подумать, например, о множестве всех действительных положительных чисел: они все больше или равны нулю, но нет ни одного, которое было бы наименьшим (для любого выбранного нами числа всегда будет меньшее число). Нижней границы множества (нуля) невозможно достичь в рамках самого множества (положительных чисел), так что нет и минимума. Усилия Вейерштрасса и его математической школы, направленные на строгое обоснование существования u, разбились об этот вопрос. Однако физики продолжали считать, что так называемый принцип Дирихле гарантирует решение проблемы Дирихле.
И лишь Гильберту — около 1904 года — удалось возродить принцип и доказать несомненное существование минимума. Но чтобы объяснить его доказательство, мы должны погрузиться в пограничную область вариационного исчисления, которое стремится определить, какие функции делают интеграл наименьшим.
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Проблема брахистохроны, или кривой с самым быстрым спуском, исторически была первой проблемой в развитии вариационного исчисления. Среди всех кривых, соединяющих две точки, нужно найти ту, вдоль которой частица, двигаясь под действием силы тяжести, падает за меньшее время. При рассмотрении всех возможных кривых, соединяющих точку А с точкой В>у ищется минимизирующая время падения, что может быть выражено в виде интеграла. То есть ведется поиск кривой или функции, которая делает наименьшим значение этого интеграла. Данная проблема была предложена в 1696 году Иоганном Бернулли (1667-1748) и была решена независимо Ньютоном, Лейбницем, Иоганном и Якобом Бернулли. Решением оказалась не прямая линия и не дуга окружности, а дуга кривой под названием циклоида (см. рисунок 3).
