Гильберт. Основания математики | страница 38

Одной из проблем уравнения Лапласа, которая не давала покоя математикам и физикам XIX века, была так называемая проблема Дирихле, названная в честь немецкого математика Петера Густава Лежёна Дирихле (1805-1859). Она состояла в том, чтобы найти гармоническую функцию в области пространства, то есть функцию u, удовлетворяющую уравнению Лапласа Δu = 0 в этой области пространства, при этом на границе области (см. рисунок 1) она принимает заданные значения (например, u = ƒ на границе). То есть если обозначить область как Ω и границу области как γ,

Δu = 0 в Ω

u = ƒ в γ

РИС. 1

В проблеме Дирихле ищут функцию и, которая принимает определенные значения на границе, и лапласиан, которой равен нулю внутри области.

Эта математическая проблема была связана со множеством физических проблем. Одна из них заключалась в ее решении. Представим себе упругую мембрану, равномерно растянутую над областью плоскости Ω, ограниченную кривой γ. Теперь предположим, что контур деформируется так, что каждая точка γ занимает некоторый уровень, заданный функцией ƒ. Естественно, вследствие деформации контура мембрана изогнется и начнет колебаться. Если позволить ей свободно колебаться, по истечении некоторого времени она достигнет равновесия, приняв некоторое положение (см. рисунок 2). Требуется вычислить величину деформации каждой точки внутри мембраны относительно плоскости, то есть высоту, которую сейчас занимает то, что переместилось. Функция u(х, у), измеряющая эти величины, соответствует проблеме Дирихле (в двух измерениях).

С точки зрения физики должна существовать функция u, являющаяся решением проблемы, кроме того, она должна быть единственной, поскольку рано или поздно мембрана остановится, и произойдет это единственным способом. Однако математически вопрос не настолько очевиден. В лекциях по данной теме Дирихле — как и Гаусс, Джордж Грин (1793-1841) и Уильям Томсон (1824-1907) — разработал метод решения проблемы и нахождения неизвестной функции и. Риман позже назвал этот метод принципом Дирихле.

Дирихле допустил, что в положении стабильного равновесия решение — функция u — должно обладать наименьшей энергией, то есть давать наименьшее значение для следующего интеграла {энергия Дирихле):

РИС. 2

Возможное положение равновесия мембраны через некоторое время.

Другими словами, функция, которую мы ищем, должна давать — в сравнении со всеми возможными функциями, определяющими то же самое граничное условие, — наименьшее возможное значение для энергии. На физических основаниях оказывается возможным, что при любой заданной замкнутой кривой в пространстве существует поверхность с наименьшей энергией, которая ее заполняет, поскольку любая поверхность или мембрана будет стремиться принять конфигурацию, требующую наименьшей энергии.