Кантор. Бесконечность в математике. | страница 31
Это заключение, хотя и математически верное, настолько противоречит здравому смыслу, что с ним было очень сложно согласиться, тем более в 1870 году, когда большинство математиков сомневались в самом факте существования актуальной бесконечности.
Континуум- гипотеза утверждает, что «промежуточного» множества не существует, но в 1877 году еще было неизвестно наверняка, так ли это.
Кантор изложил эти выводы в статье 1877 года Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre («К учению о многообразиях»). Для Кантора «многообразие» было синонимом «множества».
В июле он отправил текст в авторитетный берлинский «Журнал Крелле», который уже опубликовал его работу в 1874 году.
Но на сей раз ситуация была иной.
Тогда Кантор доказывал, что вещественные числа нельзя записать в виде последовательности, и заключал, что на любом отрезке числовой оси есть бесконечное количество трансцендентных чисел (бесконечность в контексте той статьи можно было интерпретировать как мощность). По совету Вейерштрасса Кантор сделал едва заметный намек на возможность сравнения двух бесконечных множеств и не стал развивать эту тему. К тому же он даже не поднял вопрос самого понятия мощности.
Сравнение бесконечных множеств стало лейтмотивом статьи 1877 года, причем трактовалось оно не просто как способ доказательства числового результата. В ней Кантор начал с определения того, что два множества эквивалентны, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Он также проиллюстрировал понятие мощности и вернулся к теореме 1874 года о трансцендентных числах, но в контексте сравнения бесконечных множеств. Затем ученый доказывал, что отрезок без одного конца эквивалентен отрезку с двумя концами и что отрезок эквивалентен квадрату. В конце Кантор впервые открыто изложил континуум-гипотезу.
Будущие поколения будут считать эту теорию [теорию множеств] болезнью, от которой мы излечились.
Французский математик Анри Пуанкаре, 1908 год
Содержание этой статьи было очень спорным для того времени, так что Кантор столкнулся с серьезной критикой. Он писал Дедекинду 10 ноября 1877 года:
«Публикация моей работы, с которой вы уже ознакомились, в журнале Борхардта [Карл Вильгельм Борхардт был издателем «Журнала Крелле» с 1856 по 1880 год] удивительным и необъяснимым образом все откладывается, хотя я отправил ее 11 июля, а вскоре получил заверение, что она будет напечатана в кратчайшие сроки.
Сегодня через моего старого друга Лампа, корректора журнала, я узнал, что Б. [Борхардт] опять отложил выход моей статьи, изменив таким образом намеченный порядок. Судьба публикации еще не решена. Он написал мне, что пытается ускорить ее одним ловким маневром. Я хочу думать, что ему это удастся, но надо также быть готовым и к тому, что он потерпит неудачу. В этом случае я намереваюсь полностью изъять мою работу из рук господина Б. [Борхардта] и напечатать ее в другом месте».
