КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗА
Множество вещественных чисел обладает большей мощностью, чем множество натуральных чисел. Возникает вопрос: есть ли множество с еще большей мощностью? Но логичным образом рождается еще один вопрос: существует ли множество со средней мощностью? То есть множество с мощностью большей, чем у натуральных чисел, но меньшей, чем у вещественных.
Все множества, эквивалентные множеству натуральных чисел, Кантор называл счетными: например, множества целых и рациональных чисел счетные, а множество вещественных — нет. Поэтому вопрос можно переформулировать и так: существует ли бесконечное несчетное множество с мощностью, меньшей, чем у вещественных чисел?
Кантор несколько лет безуспешно пытался найти пример такого множества. Множества натуральных, целых, рациональных и алгебраических чисел являются счетными. Иррациональные и трансцендентные числа — несчетны, но эквивалентны вещественным числам, и, следовательно, их мощность не меньше.
В конце концов, после того как все попытки Кантора найти среднее множество провалились, в 1877 году он пришел к выводу, что его не существует, и сформулировал так называемую «континуум-гипотезу»: не существует никакого бесконечного множества, мощность которого была бы промежуточной между мощностью натуральных и вещественных чисел (см. рисунок).
Гипотеза — это утверждение, которое пока не было ни доказано, ни опровергнуто. В данном случае для подтверждения гипотезы нужно было бы доказать, что не существует множества с промежуточной мощностью между множеством натуральных и вещественных чисел, а для опровержения — найти такое множество.
В 1877 году Кантор был убежден в правильности своей гипотезы, хотя и не сумел доказать ее. Этот вопрос занимал его долгие годы, и в 1833 году его желание получить подтверждение своим идеям стало для него делом огромной важности. Ответ был довольно неожиданным.
ОТРЕЗОК И ПРОСТРАНСТВО
Как мы уже говорили, любой отрезок, любой квадрат и плоскость имеют одинаковую мощность. То же самое относится и к кубу, и ко всему трехмерному пространству.
Один из выводов из этого положения: если мы обратимся к отрезку, который начертили раньше, фрагмент между точками 0 и 0,0000000000001 (минимальной длины, его невозможно увидеть невооруженным глазом) имеет точно такую же степень бесконечности, как и все трехмерное пространство, хотя оно занимает актуально бесконечный объем, гораздо больший, чем объем Вселенной (если считать, что у Вселенной конечный объем).
