Эйлер. Математический анализ | страница 12

1/n^>2  = π^>2/6.

Никто не ожидал, что в сумме этой последовательности будет задействовано число π, и его появление внесло настоящую неразбериху в умы ученых.

— Заглавные и строчные буквы: в любом треугольнике стороны обозначаются строчными буквами, а соответствующие углы — теми же буквами, но заглавными (рисунок 1).

РИС. 1

РИС . 2

РИС 3

Аналогичным образом буквами R и г обозначаются соответственно радиусы описанной (рисунок 2) и вписанной окружностей (рисунок 3).

— Использование первых букв алфавита (обычно строчных) — а, b, с, d — для обозначения известных величин в уравнениях, и последних — х, у, z, v — для неизвестных величин.

— Сокращенные латинские формы sin, cos, tang, cot, sec и cosec Эйлер впервые использовал в 1748 году в своей книге "Введение в анализ бесконечно малых" для обозначения тригонометрических функций. Затем они были адаптированы к разным языкам, хотя сейчас фактически универсальным является их английский вариант: sin х, cos х, tan х (в русской традиции tg x), cot х (или ctg х), sec х и cosec х.

— Обозначение для конечных разностей: это вычислительный инструмент, немного похожий на производные. Он не использует понятие предела и так называемые бесконечно малые. Конечные разности встречаются уже у Ньютона (1642-1727), Джеймса Грегори (1638-1675) и Колина Маклорена (1698-1746) и позволяют вычислять неизвестные многочлены на основе их значений, а также интерполировать и изучать последовательности и ряды. Изобретение компьютеров сделало их еще полезнее. Эйлер посвятил много сил изучению конечных разностей. Их обозначения, которые сегодня встречаются в книгах, принадлежат ему. В самом простом случае для последовательности {u_>i} разность двух соседних членов будет обозначаться ∆:

∆u_>k = u_>k+1 - u_>k.

Последующие конечные разности (второго порядка ∆^>2, третьего порядка ∆^>3, четвертого порядка ∆^>4 и так далее) определяются, исходя из разностей первого порядка с помощью рекурсии, то есть каждая использует предыдущую:

∆^>pu_>k = ∆(∆^>p-1u_>k).

Таким образом строго определяются конечные разности любого порядка — ∆, ∆^>2, ∆^>3,... — и с ними можно работать.

В серии работ, начатых еще в Базеле, Эйлер открыл формулу комплексных чисел, впоследствии ставшую знаменитой. Он использовал ее для нахождения значения математической категории, до той поры неизвестной, — отрицательных логарифмов. Как мы уже сказали, для обозначения мнимой единицы, √-1, Эйлер использовал символ i.